Номер 3.56, страница 117 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.56. Найдите третью сторону остроугольного треугольника, если медианы, опущенные к сторонам $a$ и $b$, взаимно перпендикулярны.

Пусть дан остроугольный треугольник $ABC$ со сторонами $BC = a$, $AC = b$ и $AB = c$. Медиана, опущенная к стороне $a$, — это отрезок $m_a = AA'$, где $A'$ — середина стороны $BC$. Медиана, опущенная к стороне $b$, — это отрезок $m_b = BB'$, где $B'$ — середина стороны $AC$. Медианы пересекаются в точке $M$, которая является центроидом треугольника.

По условию задачи медианы $AA'$ и $BB'$ взаимно перпендикулярны. Это означает, что угол между ними в точке пересечения $M$ равен $90^\circ$, то есть $\angle AMB = 90^\circ$.

Известно свойство медиан: они пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, мы имеем следующие соотношения для отрезков медиан:

$AM = \frac{2}{3} m_a$

$BM = \frac{2}{3} m_b$

Рассмотрим треугольник $AMB$. Поскольку $\angle AMB = 90^\circ$, этот треугольник является прямоугольным. Применим к нему теорему Пифагора:

$AM^2 + BM^2 = AB^2$

Подставим в это равенство выражения для длин отрезков $AM$ и $BM$ через длины медиан $m_a$ и $m_b$, а также заменим $AB$ на $c$:

$\left(\frac{2}{3} m_a\right)^2 + \left(\frac{2}{3} m_b\right)^2 = c^2$

$\frac{4}{9} m_a^2 + \frac{4}{9} m_b^2 = c^2$

Умножим обе части уравнения на 9, чтобы избавиться от знаменателя:

$4(m_a^2 + m_b^2) = 9c^2$

Теперь воспользуемся универсальными формулами для квадратов длин медиан треугольника, выраженными через квадраты длин его сторон:

$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$

$m_b^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}$

Подставим эти выражения в полученное ранее уравнение $4(m_a^2 + m_b^2) = 9c^2$:

$4 \left( \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} + \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4} \right) = 9c^2$

Сократим множитель 4 в левой части уравнения:

$(2b^2 + 2c^2 - a^2) + (2a^2 + 2c^2 - b^2) = 9c^2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(2b^2 - b^2) + (2a^2 - a^2) + (2c^2 + 2c^2) = 9c^2$

$b^2 + a^2 + 4c^2 = 9c^2$

Перенесем $4c^2$ в правую часть:

$a^2 + b^2 = 9c^2 - 4c^2$

$a^2 + b^2 = 5c^2$

Из этого соотношения выразим искомую сторону $c$:

$c^2 = \frac{a^2 + b^2}{5}$

$c = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{5}}$

Условие, что треугольник остроугольный, гарантирует, что такой треугольник может существовать при определенных соотношениях между $a$ и $b$, но не меняет саму формулу для нахождения стороны $c$.

Ответ: $c = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{5}}$