Номер 3.61, страница 118 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.61. В треугольнике $ABC$ проведены высота $AH$, биссектриса $AD$ и медиана $AE$. Докажите, что выполняется неравенство $AH \leq AD \leq AE$.

Для доказательства неравенства $AH \le AD \le AE$ разобьем его на две части: 1) $AH \le AD$ и 2) $AD \le AE$.

Рассмотрим общий случай, когда треугольник $ABC$ не является равнобедренным. Случай равнобедренного треугольника с $AB=AC$ будет рассмотрен как случай, когда достигается равенство.

Доказательство неравенства $AH \le AD$

Рассмотрим треугольник $AHD$. По определению, высота $AH$ перпендикулярна стороне $BC$. Следовательно, угол $\angle AHD$ является прямым, то есть $\angle AHD = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $AHD$ — прямоугольный. В этом треугольнике $AD$ является гипотенузой (стороной, лежащей напротив прямого угла), а $AH$ — катетом. В любом прямоугольном треугольнике длина гипотенузы больше или равна длине любого из катетов. Отсюда следует, что $AH \le AD$.

Равенство $AH = AD$ достигается в том случае, когда треугольник $AHD$ вырождается в отрезок, то есть когда точки $H$ и $D$ совпадают. Это происходит, когда высота $AH$ одновременно является и биссектрисой $AD$. Такое возможно, если треугольник $ABC$ является равнобедренным с $AB=AC$.

Доказательство неравенства $AD \le AE$

Для доказательства этого неравенства сравним квадраты длин биссектрисы $AD$ и медианы $AE$. Пусть стороны треугольника $ABC$ имеют длины $a = BC$, $b = AC$ и $c = AB$.

Квадрат длины медианы $AE$ (обозначим $m_a$) вычисляется по формуле Аполлония:

$b^2 + c^2 = 2(m_a^2 + (\frac{a}{2})^2)$

Отсюда $m_a^2 = \frac{b^2+c^2}{2} - \frac{a^2}{4} = \frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$.

Квадрат длины биссектрисы $AD$ (обозначим $l_a$) вычисляется по формуле:

$l_a^2 = bc \left(1 - \left(\frac{a}{b+c}\right)^2\right) = bc - \frac{a^2bc}{(b+c)^2}$.

Найдем разность квадратов длин медианы и биссектрисы:

$m_a^2 - l_a^2 = \left(\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}\right) - \left(bc - \frac{a^2bc}{(b+c)^2}\right)$

$m_a^2 - l_a^2 = \frac{b^2+c^2-2bc}{2} - \frac{a^2}{4} + \frac{a^2bc}{(b+c)^2} = \frac{(b-c)^2}{2} - \frac{a^2}{4} + \frac{a^2bc}{(b+c)^2}$

Вынесем общий множитель, чтобы упростить выражение:

$m_a^2 - l_a^2 = \frac{(b-c)^2}{2} - a^2\left(\frac{1}{4} - \frac{bc}{(b+c)^2}\right)$

$m_a^2 - l_a^2 = \frac{(b-c)^2}{2} - a^2\left(\frac{(b+c)^2 - 4bc}{4(b+c)^2}\right)$

$m_a^2 - l_a^2 = \frac{(b-c)^2}{2} - a^2\left(\frac{b^2+2bc+c^2 - 4bc}{4(b+c)^2}\right) = \frac{(b-c)^2}{2} - a^2\left(\frac{b^2-2bc+c^2}{4(b+c)^2}\right)$

$m_a^2 - l_a^2 = \frac{(b-c)^2}{2} - \frac{a^2(b-c)^2}{4(b+c)^2}$

Вынесем за скобки $\frac{(b-c)^2}{4}$:

$m_a^2 - l_a^2 = \frac{(b-c)^2}{4} \left(2 - \frac{a^2}{(b+c)^2}\right)$

Теперь проанализируем полученное выражение. Квадрат разности $(b-c)^2$ всегда неотрицателен: $(b-c)^2 \ge 0$.

По неравенству треугольника, сумма длин двух сторон всегда больше третьей стороны: $b+c > a$. Поскольку длины сторон положительны, мы можем возвести обе части в квадрат: $(b+c)^2 > a^2$. Отсюда следует, что $\frac{a^2}{(b+c)^2} < 1$.

Тогда выражение в скобках $2 - \frac{a^2}{(b+c)^2} > 2 - 1 = 1$, то есть оно всегда положительно.

Таким образом, разность $m_a^2 - l_a^2$ является произведением неотрицательного числа $\frac{(b-c)^2}{4}$ и положительного числа $\left(2 - \frac{a^2}{(b+c)^2}\right)$. Следовательно, $m_a^2 - l_a^2 \ge 0$, что означает $m_a^2 \ge l_a^2$.

Так как длины отрезков неотрицательны, из $m_a^2 \ge l_a^2$ следует $m_a \ge l_a$, то есть $AE \ge AD$.

Равенство $AD = AE$ достигается, когда $(b-c)^2 = 0$, то есть когда $b=c$. Это соответствует случаю равнобедренного треугольника $ABC$ с $AB=AC$, в котором биссектриса и медиана, проведенные из вершины $A$, совпадают.

Заключение

Мы доказали, что $AH \le AD$ и $AD \le AE$. Объединяя эти два неравенства, получаем итоговое неравенство: $AH \le AD \le AE$.

Полное равенство $AH = AD = AE$ выполняется тогда и только тогда, когда треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$ ($AB=AC$), так как в этом случае высота, биссектриса и медиана, проведенные из вершины $A$, совпадают.

Ответ: Неравенство $AH \le AD \le AE$ доказано.