Номер 3.60, страница 118 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.60. В равнобокой трапеции основания равны 12 см и 16 см, а центр описанной около нее окружности лежит на большем основании. Найдите боковую сторону и диагональ трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, в которой $AD$ — большее основание, а $BC$ — меньшее. По условию, $AD = 16$ см и $BC = 12$ см. Центр $O$ описанной окружности лежит на большем основании $AD$.

Поскольку все вершины трапеции лежат на окружности, расстояния от центра $O$ до каждой вершины равны радиусу $R$ этой окружности: $OA = OB = OC = OD = R$. Так как точка $O$ лежит на отрезке $AD$ и $OA = OD$, то $O$ является серединой основания $AD$. Следовательно, основание $AD$ является диаметром описанной окружности. Радиус окружности равен: $R = \frac{AD}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Боковая сторона

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции отрезок, отсекаемый высотой на большем основании, равен полуразности оснований: $HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{16 - 12}{2} = 2$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OHC$. Гипотенуза $OC$ является радиусом ($OC = R = 8$ см). Катет $OH$ равен $OD - HD = 8 - 2 = 6$ см. По теореме Пифагора найдем высоту $CH$: $CH^2 = OC^2 - OH^2 = 8^2 - 6^2 = 64 - 36 = 28$. Отсюда $CH = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CHD$. По теореме Пифагора найдем боковую сторону $CD$: $CD^2 = CH^2 + HD^2 = (2\sqrt{7})^2 + 2^2 = 28 + 4 = 32$. Таким образом, $CD = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.

Диагональ трапеции

Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. Так как он вписан в окружность и одна из его сторон ($AD$) является диаметром, то этот треугольник прямоугольный ($\angle ACD = 90^\circ$). Применим теорему Пифагора: $AD^2 = AC^2 + CD^2$.

Подставим известные значения $AD=16$ см и $CD=4\sqrt{2}$ см: $16^2 = AC^2 + (4\sqrt{2})^2$, что дает $256 = AC^2 + 32$. Отсюда $AC^2 = 256 - 32 = 224$.

Диагональ $AC = \sqrt{224} = \sqrt{16 \cdot 14} = 4\sqrt{14}$ см.

Ответ: $4\sqrt{14}$ см.