Номер 3.64, страница 122 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.64. В параллелограмме острый угол равен $\alpha$, а расстояния от точки пересечения диагоналей до неравных сторон равны $m$ и $n$. Найдите диагонали и площадь параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$ со сторонами $AB=b$ и $AD=a$. Острый угол при вершине $A$ равен $\angle DAB = \alpha$. Точка $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Расстояние от точки $O$ до стороны $AD$ равно $m$, а до стороны $AB$ равно $n$.

Нахождение сторон и площади параллелограмма

Точка пересечения диагоналей $O$ является центром симметрии параллелограмма. Поэтому расстояние от этой точки до одной из сторон равно половине высоты, проведенной к этой стороне.
Пусть $h_a$ — высота, проведенная к стороне $AD=a$, а $h_b$ — высота, проведенная к стороне $AB=b$.
Тогда расстояние от $O$ до $AD$ равно $m = \frac{h_a}{2}$, откуда $h_a = 2m$.
Аналогично, расстояние от $O$ до $AB$ равно $n = \frac{h_b}{2}$, откуда $h_b = 2n$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный стороной $AB=b$, высотой $h_a=2m$ и углом $\alpha$. В этом треугольнике $\sin\alpha = \frac{h_a}{b}$.
Отсюда находим сторону $b$:$b = \frac{h_a}{\sin\alpha} = \frac{2m}{\sin\alpha}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный стороной $AD=a$, высотой $h_b=2n$ и углом $\alpha$. В этом треугольнике $\sin\alpha = \frac{h_b}{a}$.
Отсюда находим сторону $a$:$a = \frac{h_b}{\sin\alpha} = \frac{2n}{\sin\alpha}$.

Площадь параллелограмма $S$ можно найти по формуле $S = a \cdot h_a$.
Подставим найденные значения:$S = \left(\frac{2n}{\sin\alpha}\right) \cdot (2m) = \frac{4mn}{\sin\alpha}$.
Можно проверить по другой формуле $S = ab\sin\alpha$:$S = \left(\frac{2n}{\sin\alpha}\right) \left(\frac{2m}{\sin\alpha}\right) \sin\alpha = \frac{4mn}{\sin^2\alpha} \sin\alpha = \frac{4mn}{\sin\alpha}$.
Результаты совпадают.

Ответ: Площадь параллелограмма равна $S = \frac{4mn}{\sin\alpha}$.

Нахождение диагоналей параллелограмма

Для нахождения диагоналей $d_1$ и $d_2$ воспользуемся теоремой косинусов.Рассмотрим треугольник $ABD$. По теореме косинусов для диагонали $BD = d_2$:$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\alpha$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Угол $\angle ABC = 180^\circ - \alpha$. По теореме косинусов для диагонали $AC = d_1$:$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(180^\circ - \alpha) = a^2 + b^2 + 2ab\cos\alpha$.

Подставим ранее найденные выражения для сторон $a$ и $b$:$a = \frac{2n}{\sin\alpha}$ и $b = \frac{2m}{\sin\alpha}$.

Вычислим $a^2+b^2$ и $2ab\cos\alpha$:$a^2+b^2 = \left(\frac{2n}{\sin\alpha}\right)^2 + \left(\frac{2m}{\sin\alpha}\right)^2 = \frac{4n^2}{\sin^2\alpha} + \frac{4m^2}{\sin^2\alpha} = \frac{4(m^2+n^2)}{\sin^2\alpha}$.
$2ab\cos\alpha = 2 \cdot \frac{2n}{\sin\alpha} \cdot \frac{2m}{\sin\alpha} \cdot \cos\alpha = \frac{8mn\cos\alpha}{\sin^2\alpha}$.

Теперь подставим эти выражения в формулы для квадратов диагоналей:$d_1^2 = \frac{4(m^2+n^2)}{\sin^2\alpha} + \frac{8mn\cos\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{4}{\sin^2\alpha}(m^2 + n^2 + 2mn\cos\alpha)$.
$d_2^2 = \frac{4(m^2+n^2)}{\sin^2\alpha} - \frac{8mn\cos\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{4}{\sin^2\alpha}(m^2 + n^2 - 2mn\cos\alpha)$.

Извлекая квадратный корень (учитывая, что $\alpha$ — острый угол, $\sin\alpha > 0$), получаем длины диагоналей:$d_1 = \frac{2}{\sin\alpha}\sqrt{m^2 + n^2 + 2mn\cos\alpha}$.
$d_2 = \frac{2}{\sin\alpha}\sqrt{m^2 + n^2 - 2mn\cos\alpha}$.

Ответ: Диагонали параллелограмма равны $d_1 = \frac{2}{\sin\alpha}\sqrt{m^2 + n^2 + 2mn\cos\alpha}$ и $d_2 = \frac{2}{\sin\alpha}\sqrt{m^2 + n^2 - 2mn\cos\alpha}$.