Номер 3.70, страница 122 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.70. В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а угол при основании равен $30^\circ$. Найдите радиусы описанной около треугольника и вписанной в треугольник окружностей.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По условию, длина основания $AC = 10$ см, а углы при основании $\angle BAC = \angle BCA = 30^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому угол при вершине $B$, противолежащий основанию, равен:

$\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Для наглядности изобразим данный треугольник и его высоту $BH$, проведенную к основанию.

Для нахождения радиуса описанной окружности $R$ воспользуемся обобщенной теоремой синусов: $R = \frac{a}{2\sin\alpha}$, где $a$ — сторона треугольника, а $\alpha$ — противолежащий ей угол.

Возьмем основание $AC = 10$ см и противолежащий ему угол $\angle ABC = 120^\circ$.

Подставим эти значения в формулу:

$R = \frac{AC}{2\sin(\angle ABC)} = \frac{10}{2\sin(120^\circ)}$

Значение синуса $120^\circ$ равно $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Тогда радиус $R$ равен:

$R = \frac{10}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$R = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: Радиус описанной окружности равен $\frac{10\sqrt{3}}{3}$ см.

Центр вписанной окружности (инцентр) является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. В равнобедренном треугольнике высота $BH$, проведенная к основанию, является также биссектрисой и медианой. Следовательно, инцентр $I$ лежит на высоте $BH$. Радиус вписанной окружности $r$ равен длине перпендикуляра, опущенного из инцентра на любую сторону треугольника. Таким образом, $r$ равен длине отрезка $IH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $IHC$. Катет $HC$ является половиной основания $AC$, так как высота $BH$ является и медианой. $HC = \frac{10}{2} = 5$ см.

Угол $\angle ICH$ является половиной угла при основании $\angle BCA$, так как $CI$ — биссектриса этого угла. $\angle ICH = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $IHC$ тангенс угла $\angle ICH$ определяется как отношение противолежащего катета $IH$ к прилежащему катету $HC$:

$\tan(\angle ICH) = \frac{IH}{HC} \implies \tan(15^\circ) = \frac{r}{5}$

Отсюда $r = 5 \cdot \tan(15^\circ)$.

Найдем значение $\tan(15^\circ)$ с помощью формулы тангенса разности:

$\tan(15^\circ) = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan(45^\circ) - \tan(30^\circ)}{1 + \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)}$

Подставим известные значения $\tan(45^\circ)=1$ и $\tan(30^\circ)=\frac{1}{\sqrt{3}}$:

$\tan(15^\circ) = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(\sqrt{3}-1)$, чтобы избавиться от иррациональности:

$\tan(15^\circ) = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{(\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} + 1^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3-1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$.

Теперь вычислим радиус $r$:

$r = 5 \cdot (2 - \sqrt{3}) = 10 - 5\sqrt{3}$ см.

Ответ: Радиус вписанной окружности равен $10 - 5\sqrt{3}$ см.