Номер 3.75, страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.75. В прямоугольнике диагональ, равная $d$, делит угол в отношении $p:q$. Найдите периметр прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Периметр прямоугольника $P$ находится по формуле $P = 2(a+b)$.

Диагональ прямоугольника, длина которой равна $d$, делит его на два одинаковых прямоугольных треугольника. В каждом таком треугольнике катеты равны сторонам прямоугольника $a$ и $b$, а гипотенуза — диагонали $d$.

Угол прямоугольника составляет $90^\circ$. По условию задачи, диагональ делит этот угол на две части в отношении $p:q$. Обозначим эти части как $\alpha$ и $\beta$. Следовательно, мы можем составить систему уравнений:

$\begin{cases}\alpha + \beta = 90^\circ \\\frac{\alpha}{\beta} = \frac{p}{q}\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $\alpha$: $\alpha = \beta \cdot \frac{p}{q}$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$\beta \cdot \frac{p}{q} + \beta = 90^\circ$

$\beta \left(\frac{p}{q} + 1\right) = 90^\circ$

$\beta \left(\frac{p+q}{q}\right) = 90^\circ$

Отсюда находим $\beta$:

$\beta = \frac{90^\circ \cdot q}{p+q}$

Теперь находим $\alpha$:

$\alpha = 90^\circ - \beta = 90^\circ - \frac{90^\circ \cdot q}{p+q} = \frac{90^\circ(p+q) - 90^\circ q}{p+q} = \frac{90^\circ p}{p+q}$

Таким образом, углы, на которые диагональ делит прямой угол прямоугольника, равны $\alpha = \frac{90^\circ p}{p+q}$ и $\beta = \frac{90^\circ q}{p+q}$.

В прямоугольном треугольнике, образованном сторонами $a$, $b$ и диагональю $d$, эти углы $\alpha$ и $\beta$ являются острыми. Стороны $a$ и $b$ можно выразить через гипотенузу $d$ и один из этих углов, например, $\alpha$, используя определения синуса и косинуса:

$a = d \cdot \cos(\alpha)$

$b = d \cdot \sin(\alpha)$

Теперь мы можем найти периметр прямоугольника:

$P = 2(a+b) = 2(d \cdot \cos(\alpha) + d \cdot \sin(\alpha)) = 2d(\cos(\alpha) + \sin(\alpha))$

Подставим в эту формулу найденное ранее выражение для угла $\alpha$:

$P = 2d \left( \cos\left(\frac{90^\circ p}{p+q}\right) + \sin\left(\frac{90^\circ p}{p+q}\right) \right)$

Это выражение является окончательным решением.

Ответ: $P = 2d \left( \cos\left(\frac{90^\circ p}{p+q}\right) + \sin\left(\frac{90^\circ p}{p+q}\right) \right)$.