Номер 3.74, страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.74. В равнобокой трапеции высота равна $h$, а угол между диагоналями, противолежащий боковой стороне, равен $\alpha$. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$) и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. Высота трапеции равна $h$, а угол между диагоналями, противолежащий боковой стороне, равен $\alpha$. Средняя линия трапеции $m$ по определению равна полусумме оснований: $m = \frac{AD + BC}{2}$.

Для нахождения средней линии воспользуемся свойством равнобокой трапеции и тригонометрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике.

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на большее основание $AD$. Длина этой высоты по условию равна $h$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACH$.

Выразим длину катета $AH$ через основания трапеции. Проведем вторую высоту $BK$ из вершины $B$ на основание $AD$. Поскольку трапеция равнобокая, прямоугольные треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle DCH$ равны по гипотенузе и катету ($AB=CD$, $BK=CH=h$). Из равенства треугольников следует, что $AK = DH$. Четырехугольник $BCKH$ является прямоугольником, так что $KH = BC$. Длину основания $AD$ можно представить в виде суммы $AD = AK + KH + DH$. Подставив $KH=BC$ и $AK=DH$, получим $AD = DH + BC + DH = 2DH + BC$. Отсюда найдем $DH = \frac{AD - BC}{2}$. Теперь можем найти длину отрезка $AH$: $AH = AD - DH = AD - \frac{AD - BC}{2} = \frac{2AD - AD + BC}{2} = \frac{AD + BC}{2}$. Это означает, что длина катета $AH$ равна средней линии трапеции $m$.

Теперь найдем величину угла $\angle CAH$ (на рисунке он обозначен как $\beta$). Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По условию, угол между диагоналями, противолежащий боковой стороне (например, $CD$), равен $\alpha$. Таким образом, $\angle COD = \alpha$. В равнобокой трапеции диагонали равны ($AC=BD$). Треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$ равны по трем сторонам ($AB=DC$, $BD=AC$, $AD$ — общая). Из этого следует, что углы $\angle CAD$ и $\angle BDA$ равны. Обозначим их величину как $\beta$. В треугольнике $\triangle AOD$ углы при основании $AD$ равны ($\angle OAD = \angle ODA = \beta$), значит, он является равнобедренным. Сумма углов в треугольнике $AOD$ равна $180^\circ$, поэтому $\angle AOD = 180^\circ - 2\beta$. Углы $\angle AOD$ и $\angle COD$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$: $\angle COD + \angle AOD = 180^\circ$. Подставим известные значения: $\alpha + (180^\circ - 2\beta) = 180^\circ$. Отсюда получаем $\alpha = 2\beta$, или $\beta = \frac{\alpha}{2}$. Мы установили, что угол $\angle CAH$ в прямоугольном треугольнике $\triangle ACH$ равен $\frac{\alpha}{2}$.

Теперь у нас есть все данные для прямоугольного треугольника $\triangle ACH$: катет $CH=h$, прилежащий к углу $\beta$ катет $AH=m$, и сам угол $\beta = \angle CAH = \frac{\alpha}{2}$. Используя определение тангенса угла: $\tan(\angle CAH) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{CH}{AH}$. Подставим наши значения: $\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{h}{m}$. Из этого соотношения выразим среднюю линию $m$: $m = \frac{h}{\tan(\frac{\alpha}{2})} = h \cot(\frac{\alpha}{2})$.

Ответ: $h \cot(\frac{\alpha}{2})$