Номер 3.76, страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.76. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная к боковой стороне, делит ее в отношении $m : n$. Найдите углы треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC = b$. Обозначим углы при основании $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$ и угол при вершине $\angle ABC = \beta$. Сумма углов треугольника равна $2\alpha + \beta = 180^\circ$.

Пусть $AH$ — высота, опущенная из вершины $A$ на боковую сторону $BC$. Положение точки $H$ на прямой, содержащей сторону $BC$, зависит от величины угла $\beta$. Возможны два случая.

Случай 1: Угол при вершине $\beta$ — острый ($\beta < 90^\circ$).

В этом случае основание высоты $H$ лежит на самой боковой стороне $BC$. Высота $AH$ делит сторону $BC$ на отрезки $BH$ и $CH$. Формулировка "делит ее в отношении $m:n$" может означать два варианта.

1.1. Отношение отрезков считается от вершины B: $BH:HC = m:n$.

Из этого отношения следует, что $BH = \frac{m}{m+n}BC = \frac{m}{m+n}b$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (где $\angle AHB = 90^\circ$). Из определения косинуса имеем:$\cos \beta = \frac{BH}{AB} = \frac{\frac{m}{m+n}b}{b} = \frac{m}{m+n}$.Тогда угол при вершине $\beta = \arccos\left(\frac{m}{m+n}\right)$.Углы при основании $\alpha = \frac{180^\circ - \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\beta}{2}$.Найдем косинус угла $\alpha$:$\cos \alpha = \cos\left(90^\circ - \frac{\beta}{2}\right) = \sin\left(\frac{\beta}{2}\right)$.Используя формулу половинного угла $\sin\left(\frac{\beta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1-\cos\beta}{2}}$, получаем:$\cos \alpha = \sqrt{\frac{1 - \frac{m}{m+n}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{m+n-m}{m+n}}{2}} = \sqrt{\frac{n}{2(m+n)}}$.Тогда угол при основании $\alpha = \arccos\left(\sqrt{\frac{n}{2(m+n)}}\right)$.

Ответ: Угол при вершине $\beta = \arccos\left(\frac{m}{m+n}\right)$, углы при основании $\alpha = \arccos\left(\sqrt{\frac{n}{2(m+n)}}\right)$.

1.2. Отношение отрезков считается от вершины C: $CH:BH = m:n$.

Этот случай аналогичен предыдущему, если поменять местами $m$ и $n$.$\cos \beta = \frac{n}{m+n}$.Тогда угол при вершине $\beta = \arccos\left(\frac{n}{m+n}\right)$.А косинус угла при основании:$\cos \alpha = \sqrt{\frac{m}{2(m+n)}}$.Тогда угол при основании $\alpha = \arccos\left(\sqrt{\frac{m}{2(m+n)}}\right)$.

Ответ: Угол при вершине $\beta = \arccos\left(\frac{n}{m+n}\right)$, углы при основании $\alpha = \arccos\left(\sqrt{\frac{m}{2(m+n)}}\right)$.

Случай 2: Угол при вершине $\beta$ — тупой ($\beta > 90^\circ$).

В этом случае основание высоты $H$ лежит на продолжении стороны $BC$ за вершину $B$. Тогда "деление стороны" следует понимать как отношение расстояний от точки $H$ до концов отрезка $BC$, то есть до точек $B$ и $C$. Точки на прямой расположены в порядке $H, B, C$.

2.1. Отношение расстояний $HB:HC = m:n$.

Так как $HC = HB + BC = HB + b$, то $\frac{HB}{HB+b} = \frac{m}{n}$.Отсюда $n \cdot HB = m \cdot (HB+b) \implies (n-m)HB = mb \implies HB = \frac{mb}{n-m}$.Для того чтобы точка $H$ находилась на продолжении за точку $B$, расстояние $HB$ должно быть положительным. Так как $m, b > 0$, это требует, чтобы $n-m > 0$, то есть $n > m$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. Угол $\angle ABH = 180^\circ - \beta$.$\cos(180^\circ - \beta) = \frac{HB}{AB} = \frac{\frac{mb}{n-m}}{b} = \frac{m}{n-m}$.Поскольку $\cos(180^\circ - \beta) = -\cos\beta$, имеем $\cos\beta = -\frac{m}{n-m} = \frac{m}{m-n}$.Для тупого угла $\beta$ должно выполняться условие $-1 < \cos\beta < 0$.$\frac{m}{m-n} < 0$ выполняется при $m < n$ (так как $m>0$).Условие $\frac{m}{m-n} > -1$ преобразуется в $m < -(m-n)$ (так как $m-n < 0$), что дает $m < -m+n$, или $2m < n$.Следовательно, этот случай возможен только при $n > 2m$.Угол при вершине $\beta = \arccos\left(\frac{m}{m-n}\right)$.Косинус угла при основании $\alpha$:$\cos\alpha = \sin\left(\frac{\beta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1-\cos\beta}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{m}{m-n}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{m-n-m}{m-n}}{2}} = \sqrt{\frac{-n}{2(m-n)}} = \sqrt{\frac{n}{2(n-m)}}$.Угол при основании $\alpha = \arccos\left(\sqrt{\frac{n}{2(n-m)}}\right)$.

Ответ: Если $n > 2m$, то возможно еще одно решение: угол при вершине $\beta = \arccos\left(\frac{m}{m-n}\right)$, углы при основании $\alpha = \arccos\left(\sqrt{\frac{n}{2(n-m)}}\right)$.

2.2. Отношение расстояний $HC:HB = m:n$.

Этот случай аналогичен предыдущему с заменой $m$ и $n$.Такое решение возможно при условии $m > 2n$.Угол при вершине $\beta = \arccos\left(\frac{n}{n-m}\right)$.Угол при основании $\alpha = \arccos\left(\sqrt{\frac{m}{2(m-n)}}\right)$.

Ответ: Если $m > 2n$, то возможно еще одно решение: угол при вершине $\beta = \arccos\left(\frac{n}{n-m}\right)$, углы при основании $\alpha = \arccos\left(\sqrt{\frac{m}{2(m-n)}}\right)$.