Номер 3.80, страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.80. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен $ \alpha $, а радиус вписанной в него окружности равен $ r $. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = BC$, а угол при вершине $\angle B = \alpha$. Тогда углы при основании $AC$ равны: $\angle A = \angle C = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.Пусть $r$ — радиус вписанной окружности, а $R$ — искомый радиус описанной окружности.Центры вписанной ($I$) и описанной ($O$) окружностей в равнобедренном треугольнике лежат на высоте (которая также является биссектрисой и медианой), проведенной из вершины $B$ к основанию $AC$. Обозначим эту высоту как $BH$.

Сначала выразим одну из сторон треугольника через известные величины $r$ и $\alpha$. Проще всего найти длину основания $AC$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $AIH$. В нем катет $IH$ равен радиусу вписанной окружности $r$. Центр вписанной окружности $I$ является точкой пересечения биссектрис, поэтому $AI$ — биссектриса угла $A$. Таким образом, угол $\angle IAH$ равен половине угла $A$:$\angle IAH = \frac{\angle A}{2} = \frac{90^\circ - \alpha/2}{2} = 45^\circ - \frac{\alpha}{4}$.Из соотношений в прямоугольном треугольнике $AIH$ находим катет $AH$, который является половиной основания $AC$:$AH = IH \cdot \cot(\angle IAH) = r \cot(45^\circ - \frac{\alpha}{4})$.Следовательно, длина основания $AC = 2 \cdot AH = 2r \cot(45^\circ - \frac{\alpha}{4})$.

Далее, для нахождения радиуса описанной окружности $R$ применим обобщенную теорему синусов к треугольнику $ABC$:$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = 2R$.Подставляя выражение для $AC$ и $\angle B = \alpha$, получаем:$2R = \frac{2r \cot(45^\circ - \frac{\alpha}{4})}{\sin \alpha}$.Отсюда $R = \frac{r \cot(45^\circ - \frac{\alpha}{4})}{\sin \alpha}$.

Теперь необходимо упростить полученное тригонометрическое выражение. Воспользуемся формулой для котангенса разности и формулами двойного угла:$\cot(45^\circ - \frac{\alpha}{4}) = \frac{1+\tan(\frac{\alpha}{4})}{1-\tan(\frac{\alpha}{4})} = \frac{1+\frac{\sin(\alpha/4)}{\cos(\alpha/4)}}{1-\frac{\sin(\alpha/4)}{\cos(\alpha/4)}} = \frac{\cos(\frac{\alpha}{4})+\sin(\frac{\alpha}{4})}{\cos(\frac{\alpha}{4})-\sin(\frac{\alpha}{4})}$.Умножим числитель и знаменатель на $\cos(\frac{\alpha}{4})+\sin(\frac{\alpha}{4})$:$\frac{(\cos(\frac{\alpha}{4})+\sin(\frac{\alpha}{4}))^2}{\cos^2(\frac{\alpha}{4})-\sin^2(\frac{\alpha}{4})} = \frac{\cos^2(\frac{\alpha}{4})+\sin^2(\frac{\alpha}{4})+2\sin(\frac{\alpha}{4})\cos(\frac{\alpha}{4})}{\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{1+\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$.Подставим это упрощенное выражение обратно в формулу для $R$:$R = \frac{r}{\sin \alpha} \cdot \frac{1+\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$.Используя формулу синуса двойного угла $\sin \alpha = 2 \sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$, получим:$R = \frac{r}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})} \cdot \frac{1+\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{r(1+\sin(\frac{\alpha}{2}))}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})\cos^2(\frac{\alpha}{2})}$.Наконец, применим основное тригонометрическое тождество $\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = 1 - \sin^2(\frac{\alpha}{2}) = (1-\sin(\frac{\alpha}{2}))(1+\sin(\frac{\alpha}{2}))$:$R = \frac{r(1+\sin(\frac{\alpha}{2}))}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})(1-\sin(\frac{\alpha}{2}))(1+\sin(\frac{\alpha}{2}))}$.Так как угол $\alpha$ находится в пределах от $0$ до $180^\circ$, то $\sin(\frac{\alpha}{2}) > 0$ и $1+\sin(\frac{\alpha}{2}) \neq 0$. Сократив дробь на $(1+\sin(\frac{\alpha}{2}))$, получаем окончательный результат.

Ответ: $R = \frac{r}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})(1-\sin(\frac{\alpha}{2}))}$.