Номер 3.86, страница 124 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.86. В треугольнике длины двух сторон равны $a$ и $b$, а биссектриса угла между ними равна $l$. Найдите этот угол треугольника.

Пусть в треугольнике $ABC$ стороны $AB=a$ и $AC=b$, а $AD=l$ — биссектриса угла $A$. Обозначим искомый угол $\angle BAC$ через $α$.

Поскольку $AD$ является биссектрисой, она делит угол $A$ на два равных угла: $∠BAD = ∠CAD = α/2$.

Площадь всего треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $ABD$ и $ACD$.

$S_{ABC} = S_{ABD} + S_{ACD}$

Воспользуемся формулой площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{сторона}_1 \cdot \text{сторона}_2 \cdot \sin(\text{угол между ними})$.

Площадь треугольника $ABC$ выражается как:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} ab \sin(α)$

Площади треугольников $ABD$ и $ACD$ равны:

$S_{ABD} = \frac{1}{2} al \sin(\frac{α}{2})$

$S_{ACD} = \frac{1}{2} bl \sin(\frac{α}{2})$

Подставим эти выражения в равенство площадей:

$\frac{1}{2} ab \sin(α) = \frac{1}{2} al \sin(\frac{α}{2}) + \frac{1}{2} bl \sin(\frac{α}{2})$

Умножим обе части уравнения на 2 и вынесем общие множители в правой части:

$ab \sin(α) = l(a+b) \sin(\frac{α}{2})$

Применим формулу синуса двойного угла: $\sin(α) = 2 \sin(\frac{α}{2})\cos(\frac{α}{2})$.

$ab \cdot (2 \sin(\frac{α}{2})\cos(\frac{α}{2})) = l(a+b) \sin(\frac{α}{2})$

Так как $α$ — угол в треугольнике, то $0 < α < 180°$, а значит $0 < α/2 < 90°$ и $\sin(α/2) \neq 0$. Следовательно, можно разделить обе части уравнения на $\sin(α/2)$:

$2ab \cos(\frac{α}{2}) = l(a+b)$

Отсюда выражаем $\cos(\frac{α}{2})$:

$\cos(\frac{α}{2}) = \frac{l(a+b)}{2ab}$

Теперь находим сам угол $α$. Сначала найдем половину угла:

$\frac{α}{2} = \arccos\left(\frac{l(a+b)}{2ab}\right)$

И, наконец, весь угол:

$α = 2\arccos\left(\frac{l(a+b)}{2ab}\right)$

Ответ: $2\arccos\left(\frac{l(a+b)}{2ab}\right)$