Номер 3.89, страница 124 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.89. Докажите, что углы $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ при вершинах $A$, $B$, $C$ соответственно удовлетворяют равенству $\cos \frac{\beta - \gamma}{2} = 2\sin^2 \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2}$, если центр $O$ окружности, вписанной в треугольник $ABC$, удовлетворяет равенству $OA^2 = OB \cdot OC$.

Пусть O — центр вписанной в треугольник ABC окружности, r — её радиус. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Расстояния от центра O до вершин треугольника A, B, C можно выразить через радиус r и углы треугольника α, β, γ.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный вершиной A, центром O и точкой касания вписанной окружности со стороной AC. Угол OAC равен $ \alpha/2 $. В этом треугольнике $ \sin(\alpha/2) = r / OA $, откуда $ OA = r / \sin(\alpha/2) $. Аналогично для вершин B и C получаем: $ OB = r / \sin(\beta/2) $ и $ OC = r / \sin(\gamma/2) $.

Подставим эти выражения в данное по условию равенство $ OA^2 = OB \cdot OC $:

$ \left(\frac{r}{\sin(\alpha/2)}\right)^2 = \left(\frac{r}{\sin(\beta/2)}\right) \cdot \left(\frac{r}{\sin(\gamma/2)}\right) $

$ \frac{r^2}{\sin^2(\alpha/2)} = \frac{r^2}{\sin(\beta/2) \sin(\gamma/2)} $

Поскольку $ r \neq 0 $, мы можем сократить $ r^2 $, что дает нам первое ключевое соотношение:

$ \sin^2(\frac{\alpha}{2}) = \sin(\frac{\beta}{2}) \sin(\frac{\gamma}{2}) $ (1)

Сумма углов в треугольнике равна $ \pi $: $ \alpha + \beta + \gamma = \pi $. Разделив на 2, получим: $ \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \frac{\gamma}{2} = \frac{\pi}{2} $. Отсюда $ \frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{2} - \left(\frac{\beta}{2} + \frac{\gamma}{2}\right) $.

Используя формулу приведения для синуса, получаем второе ключевое соотношение:

$ \sin(\frac{\alpha}{2}) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \left(\frac{\beta}{2} + \frac{\gamma}{2}\right)\right) = \cos\left(\frac{\beta}{2} + \frac{\gamma}{2}\right) $ (2)

Теперь преобразуем левую часть доказываемого равенства $ \cos\frac{\beta - \gamma}{2} = 2\sin^2\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2} $, используя формулу косинуса разности:

$ \cos\left(\frac{\beta - \gamma}{2}\right) = \cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2} + \sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2} $

Из соотношения (1) мы знаем, что $ \sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2} = \sin^2\frac{\alpha}{2} $. Подставим это в выражение:

$ \cos\left(\frac{\beta - \gamma}{2}\right) = \cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2} + \sin^2\frac{\alpha}{2} $

Теперь найдем выражение для $ \cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2} $. Раскроем соотношение (2) по формуле косинуса суммы:

$ \sin\frac{\alpha}{2} = \cos\left(\frac{\beta}{2} + \frac{\gamma}{2}\right) = \cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2} - \sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2} $

Выразим отсюда $ \cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2} $:

$ \cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2} = \sin\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2} $

Снова используя соотношение (1), заменяем $ \sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2} $ на $ \sin^2\frac{\alpha}{2} $:

$ \cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2} = \sin\frac{\alpha}{2} + \sin^2\frac{\alpha}{2} $

Теперь подставим это выражение для $ \cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2} $ в преобразованную левую часть доказываемого равенства:

$ \cos\left(\frac{\beta - \gamma}{2}\right) = \left(\sin\frac{\alpha}{2} + \sin^2\frac{\alpha}{2}\right) + \sin^2\frac{\alpha}{2} $

Упрощая, получаем:

$ \cos\left(\frac{\beta - \gamma}{2}\right) = 2\sin^2\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2} $

Это в точности совпадает с правой частью исходного равенства. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Равенство доказано.