Номер 3.73, страница 122 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.73. В трапеции, описанной около окружности, острые углы при основании равны $\alpha$ и $\beta$. Найдите радиус окружности, если площадь трапеции равна $S$.

Пусть дана трапеция ABCD, описанная около окружности, с основаниями AD и BC. Пусть r — радиус вписанной окружности, S — площадь трапеции. Острые углы при большем основании AD равны ∠A = α и ∠D = β.

Высота трапеции h, опущенная из вершин B и C на основание AD, равна диаметру вписанной окружности:
$h = 2r$

Для наглядности представим чертеж:

Площадь трапеции вычисляется по формуле:
$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$

По свойству описанного четырехугольника, суммы длин его противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это означает:
$AB + CD = AD + BC$

Подставим это свойство в формулу площади:
$S = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{AB + CD}{2} \cdot 2r = (AB + CD) \cdot r$

Теперь выразим боковые стороны AB и CD через радиус r и углы α и β. Проведем высоты BH и CK из вершин B и C на основание AD. Получим два прямоугольных треугольника ΔABH и ΔDCK.

В прямоугольном треугольнике ΔABH катет BH равен высоте трапеции h, то есть $BH = 2r$. Угол ∠A = α. Тогда:
$\sin\alpha = \frac{BH}{AB} = \frac{2r}{AB}$
Отсюда выражаем боковую сторону AB:
$AB = \frac{2r}{\sin\alpha}$

Аналогично, в прямоугольном треугольнике ΔDCK катет CK равен $h = 2r$, а угол ∠D = β. Тогда:
$\sin\beta = \frac{CK}{CD} = \frac{2r}{CD}$
Отсюда выражаем боковую сторону CD:
$CD = \frac{2r}{\sin\beta}$

Подставим полученные выражения для AB и CD в формулу площади $S = (AB + CD) \cdot r$:
$S = \left(\frac{2r}{\sin\alpha} + \frac{2r}{\sin\beta}\right) \cdot r$

Вынесем общий множитель 2r за скобки:
$S = 2r \left(\frac{1}{\sin\alpha} + \frac{1}{\sin\beta}\right) \cdot r$
$S = 2r^2 \left(\frac{\sin\beta + \sin\alpha}{\sin\alpha \sin\beta}\right)$

Теперь из этого уравнения выразим $r^2$:
$r^2 = \frac{S \sin\alpha \sin\beta}{2(\sin\alpha + \sin\beta)}$

Извлекая квадратный корень, находим искомый радиус r:
$r = \sqrt{\frac{S \sin\alpha \sin\beta}{2(\sin\alpha + \sin\beta)}}$

Ответ: $r = \sqrt{\frac{S \sin\alpha \sin\beta}{2(\sin\alpha + \sin\beta)}}$