Номер 3.67, страница 122 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.67. В треугольнике $ABC$ проведены высоты $BD$ и $CE$. Найдите площадь треугольника, если $\angle A=60^\circ$, $BD=4 \text{ см}$, $CE=6 \text{ см}$.

Для нахождения площади треугольника $ABC$ воспользуемся данными о его высотах и угле $A$.
По условию, $BD$ и $CE$ — высоты треугольника $ABC$. Это означает, что $BD \perp AC$ и $CE \perp AB$. Таким образом, образуются два прямоугольных треугольника: $\triangle ADB$ с прямым углом $D$ и $\triangle AEC$ с прямым углом $E$. Оба этих треугольника содержат угол $A$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AEC$. В нем катет $CE$ является противолежащим углу $A$, а сторона $AC$ — гипотенузой. Из определения синуса угла в прямоугольном треугольнике имеем:
$\sin A = \frac{CE}{AC}$
Отсюда мы можем выразить длину стороны $AC$ через известные величины:
$AC = \frac{CE}{\sin A} = \frac{6}{\sin 60^\circ}$
Так как $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$AC = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADB$. В нем катет $BD$ является противолежащим углу $A$, а сторона $AB$ — гипотенузой. Аналогично, по определению синуса:
$\sin A = \frac{BD}{AB}$
Выразим сторону $AB$:
$AB = \frac{BD}{\sin A} = \frac{4}{\sin 60^\circ} = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{3}}$ см.

Площадь треугольника ($S$) можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$, где $a$ — основание, а $h_a$ — высота, проведенная к этому основанию.Воспользуемся стороной $AC$ в качестве основания и высотой $BD$, проведенной к ней:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$
Подставим известные и вычисленные значения:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{12}{\sqrt{3}} \cdot 4 = \frac{24}{\sqrt{3}}$ см².

Для получения окончательного ответа избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:
$S_{ABC} = \frac{24 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}$ см².

Проверка: можно вычислить площадь, используя основание $AB$ и высоту $CE$:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CE = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot 6 = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3}$ см². Результаты совпадают.

Ответ: $8\sqrt{3}$ см².