Номер 3.62, страница 118 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.62. В треугольнике $ABC$ разность углов $A$ и $B$ равна $\phi$. Высота, опущенная из вершины $C$, равна разности $BC$ и $AC$. Найдите углы треугольника.

Обозначим углы треугольника как $A, B, C$, а противолежащие им стороны как $a, b, c$ соответственно. Высоту, опущенную из вершины $C$ на сторону $AB$, обозначим как $h_c$.

Из условия задачи имеем два соотношения:
1. Разность углов $A$ и $B$ равна $\phi$: $A - B = \phi$. Из этого следует, что $A > B$, а значит и $a > b$.
2. Высота из вершины $C$ равна разности сторон $BC$ и $AC$: $h_c = a - b$.

Изобразим треугольник $ABC$ и его высоту $CD = h_c$.

Высоту $h_c$ можно выразить через сторону $b$ и угол $A$ из прямоугольного треугольника $ADC$: $h_c = b \sin(A)$.
Подставим это выражение в условие $h_c = a - b$:
$b \sin(A) = a - b$
$a = b + b \sin(A) = b(1 + \sin(A))$

Теперь воспользуемся теоремой синусов для треугольника $ABC$:
$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)}$
Подставим в это равенство полученное выражение для $a$:
$\frac{b(1 + \sin(A))}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)}$
Так как $b$ - длина стороны, $b \ne 0$, мы можем сократить на $b$:
$\frac{1 + \sin(A)}{\sin(A)} = \frac{1}{\sin(B)}$
$ (1 + \sin(A)) \sin(B) = \sin(A)$
$\sin(B) + \sin(A)\sin(B) = \sin(A)$
Перегруппировав члены, получаем ключевое соотношение:
$\sin(A) - \sin(B) = \sin(A)\sin(B)$

Для решения этого уравнения воспользуемся тригонометрическими формулами. Левую часть преобразуем по формуле разности синусов, а правую — по формуле произведения синусов:
$2 \sin\left(\frac{A-B}{2}\right) \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$

Теперь подставим известные нам величины. Из условия $A - B = \phi$. Сумма углов треугольника $A+B+C = 180^\circ$, откуда $A+B = 180^\circ - C$.
$2 \sin\left(\frac{\phi}{2}\right) \cos\left(\frac{180^\circ - C}{2}\right) = \frac{1}{2}[\cos(\phi) - \cos(180^\circ - C)]$
Используя формулы приведения $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$ и $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$, получаем:
$2 \sin\left(\frac{\phi}{2}\right) \sin\left(\frac{C}{2}\right) = \frac{1}{2}[\cos(\phi) + \cos(C)]$
$4 \sin\left(\frac{\phi}{2}\right) \sin\left(\frac{C}{2}\right) = \cos(\phi) + \cos(C)$

Это уравнение относительно одного неизвестного угла $C$. Выразим $\cos(C)$ через $\sin(C/2)$ по формуле двойного угла: $\cos(C) = 1 - 2\sin^2(C/2)$.
$4 \sin\left(\frac{\phi}{2}\right) \sin\left(\frac{C}{2}\right) = \cos(\phi) + 1 - 2\sin^2\left(\frac{C}{2}\right)$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\sin(C/2)$:
$2\sin^2\left(\frac{C}{2}\right) + 4 \sin\left(\frac{\phi}{2}\right) \sin\left(\frac{C}{2}\right) - (1 + \cos(\phi)) = 0$
Используем формулу половинного угла $1 + \cos(\phi) = 2\cos^2(\phi/2)$:
$2\sin^2\left(\frac{C}{2}\right) + 4 \sin\left(\frac{\phi}{2}\right) \sin\left(\frac{C}{2}\right) - 2\cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right) = 0$
Разделим уравнение на 2:
$\sin^2\left(\frac{C}{2}\right) + 2 \sin\left(\frac{\phi}{2}\right) \sin\left(\frac{C}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right) = 0$

Решим это квадратное уравнение для $x = \sin(C/2)$. Дискриминант $D = (2\sin(\phi/2))^2 - 4(1)(-\cos^2(\phi/2)) = 4\sin^2(\phi/2) + 4\cos^2(\phi/2) = 4(\sin^2(\phi/2) + \cos^2(\phi/2)) = 4$.
Корни уравнения:
$\sin\left(\frac{C}{2}\right) = \frac{-2\sin(\phi/2) \pm \sqrt{4}}{2} = -\sin\left(\frac{\phi}{2}\right) \pm 1$
Так как $C$ — угол треугольника, $0^\circ < C < 180^\circ$, следовательно $0^\circ < C/2 < 90^\circ$ и $\sin(C/2) > 0$.
Также $A > B \ge 0$, поэтому $0^\circ < \phi < 180^\circ$, и $\sin(\phi/2) > 0$.
Решение $\sin(C/2) = -\sin(\phi/2) - 1$ является отрицательным, поэтому оно не подходит.
Остается единственное верное решение:
$\sin\left(\frac{C}{2}\right) = 1 - \sin\left(\frac{\phi}{2}\right)$
Отсюда находим угол $C$:
$\frac{C}{2} = \arcsin\left(1 - \sin\left(\frac{\phi}{2}\right)\right)$
$C = 2 \arcsin\left(1 - \sin\left(\frac{\phi}{2}\right)\right)$

Теперь найдем углы $A$ и $B$. У нас есть система из двух уравнений:
1. $A - B = \phi$
2. $A + B = 180^\circ - C = 180^\circ - 2 \arcsin\left(1 - \sin\left(\frac{\phi}{2}\right)\right)$
Сложим эти два уравнения:
$2A = 180^\circ + \phi - 2 \arcsin\left(1 - \sin\left(\frac{\phi}{2}\right)\right)$
$A = 90^\circ + \frac{\phi}{2} - \arcsin\left(1 - \sin\left(\frac{\phi}{2}\right)\right)$
Вычтем первое уравнение из второго:
$2B = 180^\circ - \phi - 2 \arcsin\left(1 - \sin\left(\frac{\phi}{2}\right)\right)$
$B = 90^\circ - \frac{\phi}{2} - \arcsin\left(1 - \sin\left(\frac{\phi}{2}\right)\right)$

Ответ: Углы треугольника равны:
$A = 90^\circ + \frac{\phi}{2} - \arcsin\left(1 - \sin\left(\frac{\phi}{2}\right)\right)$
$B = 90^\circ - \frac{\phi}{2} - \arcsin\left(1 - \sin\left(\frac{\phi}{2}\right)\right)$
$C = 2 \arcsin\left(1 - \sin\left(\frac{\phi}{2}\right)\right)$