Номер 3.59, страница 118 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.59. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$, равная 12,5 см. Найдите стороны треугольника, если $\angle A=120^\circ$, $AC=20$ см.

Для нахождения сторон треугольника $ABC$ воспользуемся известными данными: биссектриса $AD = 12.5$ см, сторона $AC = 20$ см и угол $\angle A = 120^\circ$.

1. Нахождение стороны AB

Обозначим искомые стороны $AB = c$ и $BC = a$, а известную сторону $AC = b = 20$ см. Длина биссектрисы $l_a$, проведенной к стороне $a$ из угла $A$, вычисляется по формуле:
$l_a = \frac{2bc \cos(\frac{A}{2})}{b+c}$

По условию $AD$ — биссектриса угла $A$, следовательно, она делит угол пополам:
$\angle CAD = \angle BAD = \frac{\angle A}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Подставим известные значения в формулу длины биссектрисы: $l_a = AD = 12.5$ см, $b = AC = 20$ см, $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
$12.5 = \frac{2 \cdot 20 \cdot c \cdot \cos(60^\circ)}{20+c}$
$12.5 = \frac{2 \cdot 20 \cdot c \cdot \frac{1}{2}}{20+c}$
$12.5 = \frac{20c}{20+c}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $c$ (стороны $AB$):
$12.5 \cdot (20 + c) = 20c$
$250 + 12.5c = 20c$
$250 = 20c - 12.5c$
$250 = 7.5c$
$c = \frac{250}{7.5} = \frac{2500}{75} = \frac{100}{3}$

Таким образом, длина стороны $AB$ равна $\frac{100}{3}$ см.

2. Нахождение стороны BC

Для нахождения третьей стороны $BC$ воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $ABC$:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)$

Подставим известные значения: $b = 20$, $c = \frac{100}{3}$ и $\angle A = 120^\circ$ (при этом $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$):
$BC^2 = 20^2 + (\frac{100}{3})^2 - 2 \cdot 20 \cdot \frac{100}{3} \cdot (-\frac{1}{2})$
$BC^2 = 400 + \frac{10000}{9} + \frac{2000}{3}$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю 9:
$BC^2 = \frac{400 \cdot 9}{9} + \frac{10000}{9} + \frac{2000 \cdot 3}{9}$
$BC^2 = \frac{3600}{9} + \frac{10000}{9} + \frac{6000}{9}$
$BC^2 = \frac{3600 + 10000 + 6000}{9} = \frac{19600}{9}$

Чтобы найти длину стороны $BC$, извлечем квадратный корень:
$BC = \sqrt{\frac{19600}{9}} = \frac{\sqrt{19600}}{\sqrt{9}} = \frac{140}{3}$

Следовательно, длина стороны $BC$ равна $\frac{140}{3}$ см.

Ответ: Стороны треугольника равны $AC = 20$ см, $AB = \frac{100}{3}$ см, $BC = \frac{140}{3}$ см.