Номер 3.53, страница 117 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.53. В треугольнике две стороны равны 5 м и 6 м, а косинус угла между ними 0,6. Найдите медианы треугольника.

Пусть в треугольнике даны две стороны $a = 5$ м и $b = 6$ м, и угол $\gamma$ между ними, такой что $\cos \gamma = 0,6$. Найдем все три медианы этого треугольника.

1. Нахождение третьей стороны треугольника.

Для нахождения длины третьей стороны $c$ воспользуемся теоремой косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma$

Подставим известные значения:

$c^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 0,6$

$c^2 = 25 + 36 - 60 \cdot 0,6$

$c^2 = 61 - 36$

$c^2 = 25$

$c = \sqrt{25} = 5$ м.

Таким образом, стороны треугольника равны 5 м, 6 м и 5 м. Треугольник является равнобедренным.

2. Нахождение длин медиан.

Для вычисления длины медианы, проведенной к стороне $x$ в треугольнике со сторонами $x, y, z$, используется формула:

$m_x = \frac{1}{2}\sqrt{2y^2 + 2z^2 - x^2}$

В нашем треугольнике стороны равны $a=5$ м, $b=6$ м, $c=5$ м. Найдем медианы к каждой из сторон.

Медиана к стороне длиной 6 м (к стороне $b$):

$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2}$

$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 5^2 + 2 \cdot 5^2 - 6^2}$

$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 25 + 2 \cdot 25 - 36}$

$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{50 + 50 - 36}$

$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{100 - 36}$

$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{64} = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ м.

Медианы к сторонам длиной 5 м (к сторонам $a$ и $c$):

Поскольку треугольник равнобедренный со сторонами $a=c=5$ м, медианы, проведенные к этим сторонам, будут равны ($m_a = m_c$). Найдем длину одной из них, например, $m_a$:

$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$

$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 6^2 + 2 \cdot 5^2 - 5^2}$

$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 36 + 25}$

$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{72 + 25}$

$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{97} = \frac{\sqrt{97}}{2}$ м.

Следовательно, $m_c$ также равна $\frac{\sqrt{97}}{2}$ м.

Ответ: длины медиан треугольника равны 4 м, $\frac{\sqrt{97}}{2}$ м и $\frac{\sqrt{97}}{2}$ м.