Номер 3.47, страница 117 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.47. Две стороны треугольника равны $\sqrt{13}$ и $\sqrt{10}$, а третья сторона – высоте, опущенной к ней. Найдите третью сторону треугольника.

Пусть стороны треугольника равны $a, b, c$. По условию, две стороны равны $b = \sqrt{13}$ и $c = \sqrt{10}$. Третья сторона, которую мы обозначим как $a$, равна высоте $h_a$, опущенной на нее. Таким образом, у нас есть условие $a = h_a$.

Для нахождения стороны $a$ мы можем использовать две разные формулы для вычисления площади треугольника $S$ и приравнять полученные выражения.

С одной стороны, площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:$S = \frac{1}{2} a h_a$.Поскольку $h_a = a$, формула принимает вид:$S = \frac{1}{2} a \cdot a = \frac{1}{2} a^2$.Отсюда квадрат площади равен $S^2 = \frac{1}{4} a^4$.

С другой стороны, площадь треугольника можно вычислить по формуле Герона, если известны все три стороны:$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$,где $p$ — полупериметр треугольника. В нашем случае стороны равны $a, \sqrt{13}, \sqrt{10}$, а полупериметр:$p = \frac{a + \sqrt{13} + \sqrt{10}}{2}$.

Выразим квадрат площади через формулу Герона:$S^2 = p(p-a)(p-b)(p-c)$$S^2 = \left(\frac{a+\sqrt{13}+\sqrt{10}}{2}\right)\left(\frac{a+\sqrt{13}+\sqrt{10}}{2}-a\right)\left(\frac{a+\sqrt{13}+\sqrt{10}}{2}-\sqrt{13}\right)\left(\frac{a+\sqrt{13}+\sqrt{10}}{2}-\sqrt{10}\right)$$S^2 = \frac{(a+\sqrt{13}+\sqrt{10})(-a+\sqrt{13}+\sqrt{10})(a-\sqrt{13}+\sqrt{10})(a+\sqrt{13}-\sqrt{10})}{16}$.

Чтобы упростить выражение в числителе, сгруппируем слагаемые и применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$:$16S^2 = [(\sqrt{13}+\sqrt{10})+a][(\sqrt{13}+\sqrt{10})-a] \cdot [a-(\sqrt{13}-\sqrt{10})][a+(\sqrt{13}-\sqrt{10})]$$16S^2 = [(\sqrt{13}+\sqrt{10})^2 - a^2] \cdot [a^2 - (\sqrt{13}-\sqrt{10})^2]$$16S^2 = [13+10+2\sqrt{130} - a^2] \cdot [a^2 - (13+10-2\sqrt{130})]$$16S^2 = [23+2\sqrt{130} - a^2] \cdot [a^2 - 23+2\sqrt{130}]$$16S^2 = [(2\sqrt{130}) + (23 - a^2)] \cdot [(2\sqrt{130}) - (23 - a^2)]$$16S^2 = (2\sqrt{130})^2 - (23-a^2)^2$$16S^2 = 4 \cdot 130 - (23^2 - 2 \cdot 23 \cdot a^2 + a^4)$$16S^2 = 520 - (529 - 46a^2 + a^4)$$16S^2 = 520 - 529 + 46a^2 - a^4$$16S^2 = -9 + 46a^2 - a^4$.

Теперь приравняем два полученных выражения для квадрата площади. Из первой формулы мы знаем, что $S^2 = \frac{1}{4} a^4$, значит $16S^2 = 16 \cdot \frac{1}{4} a^4 = 4a^4$.$4a^4 = -9 + 46a^2 - a^4$.

Перенесем все члены в левую часть уравнения:$5a^4 - 46a^2 + 9 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $Z = a^2$. Поскольку $a$ — это длина стороны, $a>0$, и, следовательно, $Z>0$.$5Z^2 - 46Z + 9 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение относительно $Z$ с помощью дискриминанта:$D = b^2 - 4ac = (-46)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 9 = 2116 - 180 = 1936$.Корень из дискриминанта: $\sqrt{1936} = 44$.$Z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{46 \pm 44}{2 \cdot 5}$.

Находим два корня для $Z$:$Z_1 = \frac{46 + 44}{10} = \frac{90}{10} = 9$.$Z_2 = \frac{46 - 44}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Оба корня положительны, поэтому оба являются допустимыми значениями для $a^2$. Вернемся к переменной $a$:Если $a^2 = 9$, то $a = \sqrt{9} = 3$.Если $a^2 = \frac{1}{5}$, то $a = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

Мы получили два возможных значения для третьей стороны. Необходимо убедиться, что для каждого из них выполняется неравенство треугольника (сумма длин двух любых сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны).

Случай 1: Стороны треугольника равны $3, \sqrt{10}, \sqrt{13}$.Приближенные значения: $\sqrt{10} \approx 3.16$, $\sqrt{13} \approx 3.61$.$3 + \sqrt{10} > \sqrt{13} \implies 3+3.16 > 3.61 \implies 6.16 > 3.61$ (верно).$3 + \sqrt{13} > \sqrt{10}$ (верно).$\sqrt{10} + \sqrt{13} > 3$ (верно).Все неравенства выполняются, значит, такой треугольник существует.

Случай 2: Стороны треугольника равны $\frac{\sqrt{5}}{5}, \sqrt{10}, \sqrt{13}$.Проверим наиболее "тесное" неравенство: $\frac{\sqrt{5}}{5} + \sqrt{10} > \sqrt{13}$.Так как обе части неравенства положительны, возведем их в квадрат:$(\frac{\sqrt{5}}{5} + \sqrt{10})^2 > (\sqrt{13})^2$$(\frac{\sqrt{5}}{5})^2 + 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \sqrt{10} + (\sqrt{10})^2 > 13$$\frac{5}{25} + \frac{2\sqrt{50}}{5} + 10 > 13$$\frac{1}{5} + \frac{2 \cdot 5\sqrt{2}}{5} + 10 > 13$$0.2 + 2\sqrt{2} + 10 > 13$$10.2 + 2\sqrt{2} > 13$$2\sqrt{2} > 2.8$$\sqrt{2} > 1.4$Возведем в квадрат еще раз: $(\sqrt{2})^2 > (1.4)^2 \implies 2 > 1.96$. Неравенство верно.Два других неравенства ($\frac{\sqrt{5}}{5} + \sqrt{13} > \sqrt{10}$ и $\sqrt{10} + \sqrt{13} > \frac{\sqrt{5}}{5}$) очевидно верны.Следовательно, такой треугольник тоже существует.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: $3$ или $\frac{\sqrt{5}}{5}$.