Номер 3.42, страница 116 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.42. Стороны треугольника равны 4 см, 5 см и 6 см. Найдите проекции двух сторон треугольника на его большую сторону.

Пусть дан треугольник со сторонами, равными 4 см, 5 см и 6 см. Большая сторона равна 6 см. Необходимо найти проекции двух меньших сторон (4 см и 5 см) на большую сторону.

Обозначим вершины треугольника как $A$, $B$, $C$. Пусть сторона $AB = 6$ см, $AC = 4$ см и $BC = 5$ см. Опустим из вершины $C$ высоту $CH$ на сторону $AB$. Отрезок $AH$ является проекцией стороны $AC$ на сторону $AB$, а отрезок $BH$ — проекцией стороны $BC$ на сторону $AB$. Наша задача — найти длины отрезков $AH$ и $BH$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов. Обозначим стороны: $a = BC = 5$ см, $b = AC = 4$ см, $c = AB = 6$ см.

Найдем косинус угла $A$ по теореме косинусов:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)$

Выразим отсюда $\cos(A)$:

$\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Подставим значения длин сторон:

$\cos(A) = \frac{4^2 + 6^2 - 5^2}{2 \cdot 4 \cdot 6} = \frac{16 + 36 - 25}{48} = \frac{52 - 25}{48} = \frac{27}{48} = \frac{9}{16}$

Теперь мы можем найти длину проекции $AH$. В прямоугольном треугольнике $AHC$ длина катета $AH$ равна произведению гипотенузы $AC$ на косинус прилежащего угла $A$:

$AH = AC \cdot \cos(A) = 4 \cdot \frac{9}{16} = \frac{36}{16} = \frac{9}{4} = 2,25$ см.

Сумма длин проекций $AH$ и $BH$ равна длине стороны $AB$. Следовательно, длину второй проекции $BH$ можно найти вычитанием:

$BH = AB - AH = 6 - 2,25 = 3,75$ см.

Таким образом, проекция стороны длиной 4 см на большую сторону равна 2,25 см, а проекция стороны длиной 5 см равна 3,75 см.

Ответ: проекции двух сторон на большую сторону равны 2,25 см и 3,75 см.