Номер 3.35, страница 115 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.35. Диагонали параллелограмма равны $c$ и $d$, а угол между ними $\alpha$. Найдите стороны параллелограмма, если:

1) $c=5$ м, $d=6$ м, $\alpha=60^\circ$;

2) $c=22$ см, $d=14$ см, $\alpha=30^\circ$;

3) $c=0,5$ м, $d=1,5$ м, $\alpha=120^\circ$;

4) $c=\frac{4}{3}$ м, $d=\frac{3}{4}$ м, $\alpha=45^\circ$.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. Диагонали параллелограмма, равные $c$ и $d$, в точке пересечения $O$ делятся пополам. Таким образом, диагонали разбивают параллелограмм на четыре треугольника. Рассмотрим два смежных треугольника, например, $\triangle AOB$ и $\triangle AOD$. Стороны этих треугольников образованы половинами диагоналей ($c/2$ и $d/2$) и сторонами параллелограмма ($a$ и $b$).

Угол между диагоналями равен $\alpha$. Пусть $\angle AOD = \alpha$, тогда смежный с ним угол $\angle AOB = 180^\circ - \alpha$.

Применим теорему косинусов для нахождения сторон параллелограмма.

Для треугольника $\triangle AOD$ (сторона $b = AD$):
$b^2 = AO^2 + DO^2 - 2 \cdot AO \cdot DO \cdot \cos(\angle AOD)$
$b^2 = (\frac{c}{2})^2 + (\frac{d}{2})^2 - 2 \cdot \frac{c}{2} \cdot \frac{d}{2} \cdot \cos(\alpha) = \frac{c^2}{4} + \frac{d^2}{4} - \frac{cd}{2}\cos(\alpha)$

Для треугольника $\triangle AOB$ (сторона $a = AB$):
$a^2 = AO^2 + BO^2 - 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos(\angle AOB)$
Поскольку $\angle AOB = 180^\circ - \alpha$ и $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$, получаем:
$a^2 = (\frac{c}{2})^2 + (\frac{d}{2})^2 - 2 \cdot \frac{c}{2} \cdot \frac{d}{2} \cdot (-\cos(\alpha)) = \frac{c^2}{4} + \frac{d^2}{4} + \frac{cd}{2}\cos(\alpha)$

Таким образом, формулы для вычисления квадратов сторон параллелограмма: $a^2 = \frac{1}{4}(c^2 + d^2 + 2cd\cos(\alpha))$
$b^2 = \frac{1}{4}(c^2 + d^2 - 2cd\cos(\alpha))$

1) $c=5$ м, $d=6$ м, $\alpha=60^\circ$

Имеем $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
$a^2 = \frac{1}{4}(5^2 + 6^2 + 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ)) = \frac{1}{4}(25 + 36 + 60 \cdot \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}(61 + 30) = \frac{91}{4}$
$a = \sqrt{\frac{91}{4}} = \frac{\sqrt{91}}{2}$ м.
$b^2 = \frac{1}{4}(5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ)) = \frac{1}{4}(25 + 36 - 60 \cdot \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}(61 - 30) = \frac{31}{4}$
$b = \sqrt{\frac{31}{4}} = \frac{\sqrt{31}}{2}$ м.
Ответ: стороны параллелограмма равны $\frac{\sqrt{31}}{2}$ м и $\frac{\sqrt{91}}{2}$ м.

2) $c=22$ см, $d=14$ см, $\alpha=30^\circ$

Имеем $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$a^2 = \frac{1}{4}(22^2 + 14^2 + 2 \cdot 22 \cdot 14 \cdot \cos(30^\circ)) = \frac{1}{4}(484 + 196 + 616 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{4}(680 + 308\sqrt{3}) = 170 + 77\sqrt{3}$
$a = \sqrt{170 + 77\sqrt{3}}$ см.
$b^2 = \frac{1}{4}(22^2 + 14^2 - 2 \cdot 22 \cdot 14 \cdot \cos(30^\circ)) = \frac{1}{4}(484 + 196 - 616 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{4}(680 - 308\sqrt{3}) = 170 - 77\sqrt{3}$
$b = \sqrt{170 - 77\sqrt{3}}$ см.
Ответ: стороны параллелограмма равны $\sqrt{170 - 77\sqrt{3}}$ см и $\sqrt{170 + 77\sqrt{3}}$ см.

3) $c=0,5$ м, $d=1,5$ м, $\alpha=120^\circ$

Имеем $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$.
$a^2 = \frac{1}{4}(0,5^2 + 1,5^2 + 2 \cdot 0,5 \cdot 1,5 \cdot \cos(120^\circ)) = \frac{1}{4}(0,25 + 2,25 + 1,5 \cdot (-\frac{1}{2})) = \frac{1}{4}(2,5 - 0,75) = \frac{1,75}{4} = \frac{7}{16}$
$a = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ м.
$b^2 = \frac{1}{4}(0,5^2 + 1,5^2 - 2 \cdot 0,5 \cdot 1,5 \cdot \cos(120^\circ)) = \frac{1}{4}(0,25 + 2,25 - 1,5 \cdot (-\frac{1}{2})) = \frac{1}{4}(2,5 + 0,75) = \frac{3,25}{4} = \frac{13}{16}$
$b = \sqrt{\frac{13}{16}} = \frac{\sqrt{13}}{4}$ м.
Ответ: стороны параллелограмма равны $\frac{\sqrt{7}}{4}$ м и $\frac{\sqrt{13}}{4}$ м.

4) $c=\frac{4}{3}$ м, $d=\frac{3}{4}$ м, $\alpha=45^\circ$

Имеем $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$c^2+d^2 = (\frac{4}{3})^2 + (\frac{3}{4})^2 = \frac{16}{9} + \frac{9}{16} = \frac{256+81}{144} = \frac{337}{144}$.
$2cd = 2 \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} = 2$.
$a^2 = \frac{1}{4}(\frac{337}{144} + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4}(\frac{337}{144} + \sqrt{2}) = \frac{337 + 144\sqrt{2}}{576}$
$a = \sqrt{\frac{337 + 144\sqrt{2}}{576}} = \frac{\sqrt{337 + 144\sqrt{2}}}{24}$ м.
$b^2 = \frac{1}{4}(\frac{337}{144} - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4}(\frac{337}{144} - \sqrt{2}) = \frac{337 - 144\sqrt{2}}{576}$
$b = \sqrt{\frac{337 - 144\sqrt{2}}{576}} = \frac{\sqrt{337 - 144\sqrt{2}}}{24}$ м.
Ответ: стороны параллелограмма равны $\frac{\sqrt{337 - 144\sqrt{2}}}{24}$ м и $\frac{\sqrt{337 + 144\sqrt{2}}}{24}$ м.