Номер 3.38, страница 116 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.38. Даны одна сторона и два угла треугольника. Найдите его третий угол, остальные две стороны и площадь, если:

1) $BC=8$ см, $\angle B=30^\circ$, $\angle C=45^\circ$;

2) $AB=5$ см, $\angle A=75^\circ$, $\angle C=45^\circ$;

3) $AC=12$ см, $\angle B=40^\circ$, $\angle C=120^\circ$;

4) $BC=20$ см, $\angle B=30^\circ$, $\angle C=120^\circ$.

1) Дано: треугольник ABC, сторона $BC = a = 8$ см, $\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 45^\circ$.

1. Найдём третий угол $\angle A$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (30^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$.

2. Найдём остальные стороны $AC$ (обозначим как $b$) и $AB$ (обозначим как $c$) по теореме синусов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

$\frac{8}{\sin 105^\circ} = \frac{b}{\sin 30^\circ} = \frac{c}{\sin 45^\circ}$

Для вычислений нам понадобится значение $\sin 105^\circ$. Используем формулу синуса суммы:

$\sin 105^\circ = \sin(60^\circ+45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

Найдём сторону $AC = b$:

$b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{8 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 105^\circ} = \frac{8 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \frac{4}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \frac{16}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{16(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{16(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = 4(\sqrt{6}-\sqrt{2})\text{ см}$.

Найдём сторону $AB = c$:

$c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A} = \frac{8 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 105^\circ} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = \frac{16(\sqrt{12}-2)}{4} = 4(2\sqrt{3}-2) = 8(\sqrt{3}-1)\text{ см}$.

3. Найдём площадь треугольника $S$ по формуле $S = \frac{1}{2}ac\sin B$:

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8(\sqrt{3}-1) \cdot \sin 30^\circ = 32(\sqrt{3}-1) \cdot \frac{1}{2} = 16(\sqrt{3}-1)\text{ см}^2$.

Ответ: $\angle A=105^\circ$, $AC=4(\sqrt{6}-\sqrt{2})\text{ см}$, $AB=8(\sqrt{3}-1)\text{ см}$, площадь $S=16(\sqrt{3}-1)\text{ см}^2$.

2) Дано: треугольник ABC, сторона $AB = c = 5$ см, $\angle A = 75^\circ$, $\angle C = 45^\circ$.

1. Найдём третий угол $\angle B$:

$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (75^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

2. Найдём остальные стороны $BC = a$ и $AC = b$ по теореме синусов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

$\frac{a}{\sin 75^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ} = \frac{5}{\sin 45^\circ}$

Значение $\sin 75^\circ = \sin(45^\circ+30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

Найдём сторону $BC = a$:

$a = \frac{c \cdot \sin A}{\sin C} = \frac{5 \cdot \sin 75^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2\sqrt{2}} = \frac{5(\sqrt{12}+2)}{4} = \frac{5(2\sqrt{3}+2)}{4} = \frac{5(\sqrt{3}+1)}{2}\text{ см}$.

Найдём сторону $AC = b$:

$b = \frac{c \cdot \sin B}{\sin C} = \frac{5 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{6}}{2}\text{ см}$.

3. Найдём площадь треугольника $S$ по формуле $S = \frac{1}{2}bc\sin A$:

$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{5\sqrt{6}}{2} \cdot 5 \cdot \sin 75^\circ = \frac{25\sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = \frac{25(\sqrt{36}+\sqrt{12})}{16} = \frac{25(6+2\sqrt{3})}{16} = \frac{25(3+\sqrt{3})}{8}\text{ см}^2$.

Ответ: $\angle B=60^\circ$, $BC=\frac{5(\sqrt{3}+1)}{2}\text{ см}$, $AC=\frac{5\sqrt{6}}{2}\text{ см}$, площадь $S=\frac{25(3+\sqrt{3})}{8}\text{ см}^2$.

3) Дано: треугольник ABC, сторона $AC = b = 12$ см, $\angle B = 40^\circ$, $\angle C = 120^\circ$.

1. Найдём третий угол $\angle A$:

$\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (40^\circ + 120^\circ) = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$.

2. Найдём остальные стороны $BC = a$ и $AB = c$ по теореме синусов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

$\frac{a}{\sin 20^\circ} = \frac{12}{\sin 40^\circ} = \frac{c}{\sin 120^\circ}$

Найдём сторону $BC = a$:

$a = \frac{b \cdot \sin A}{\sin B} = \frac{12 \cdot \sin 20^\circ}{\sin 40^\circ}$. Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$, получаем $\sin 40^\circ = 2\sin 20^\circ\cos 20^\circ$.

$a = \frac{12 \cdot \sin 20^\circ}{2\sin 20^\circ\cos 20^\circ} = \frac{6}{\cos 20^\circ}\text{ см}$.

Найдём сторону $AB = c$:

$c = \frac{b \cdot \sin C}{\sin B} = \frac{12 \cdot \sin 120^\circ}{\sin 40^\circ} = \frac{12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sin 40^\circ} = \frac{6\sqrt{3}}{\sin 40^\circ}\text{ см}$.

3. Найдём площадь треугольника $S$ по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin C$:

$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{\cos 20^\circ} \cdot 12 \cdot \sin 120^\circ = \frac{36}{\cos 20^\circ} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{18\sqrt{3}}{\cos 20^\circ}\text{ см}^2$.

Ответ: $\angle A=20^\circ$, $BC=\frac{6}{\cos 20^\circ}\text{ см}$, $AB=\frac{6\sqrt{3}}{\sin 40^\circ}\text{ см}$, площадь $S=\frac{18\sqrt{3}}{\cos 20^\circ}\text{ см}^2$.

4) Дано: треугольник ABC, сторона $BC = a = 20$ см, $\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 120^\circ$.

1. Найдём третий угол $\angle A$:

$\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (30^\circ + 120^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

2. Найдём остальные стороны $AC = b$ и $AB = c$ по теореме синусов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

$\frac{20}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 30^\circ} = \frac{c}{\sin 120^\circ}$

Поскольку $\angle A = \angle B = 30^\circ$, треугольник является равнобедренным с основанием $AB$. Следовательно, стороны, противолежащие равным углам, равны:

$AC = b = a = 20\text{ см}$.

Найдём сторону $AB = c$:

$c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A} = \frac{20 \cdot \sin 120^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 20\sqrt{3}\text{ см}$.

3. Найдём площадь треугольника $S$ по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin C$:

$S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 20 \cdot \sin 120^\circ = \frac{1}{2} \cdot 400 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 100\sqrt{3}\text{ см}^2$.

Ответ: $\angle A=30^\circ$, $AC=20\text{ см}$, $AB=20\sqrt{3}\text{ см}$, площадь $S=100\sqrt{3}\text{ см}^2$.