Номер 3.43, страница 116 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.43. Даны две стороны треугольника и угол между ними. Найдите третью сторону и площадь треугольника, если:

1) $a=3$ см, $b=8$ см, $\gamma=30^\circ$;

2) $a=6$ см, $c=4$ см, $\beta=60^\circ$;

3) $b=\frac{4}{3}$ м, $c=\frac{3}{4}$ м, $\alpha=45^\circ$;

4) $a=0,6$ м, $b=0,8$ м, $\gamma=120^\circ$.

Для решения задачи будем использовать теорему косинусов для нахождения третьей стороны и формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними.

Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Например, для стороны $c$: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$.

Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma)$, где $a$ и $b$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.

1) Дано: $a=3$ см, $b=8$ см, $\gamma=30°$.

Находим третью сторону $c$ по теореме косинусов:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$
$c^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos(30°)$
$c^2 = 9 + 64 - 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 73 - 24\sqrt{3}$
$c = \sqrt{73 - 24\sqrt{3}}$ см.

Находим площадь треугольника $S$:
$S = \frac{1}{2} ab \sin(\gamma)$
$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \sin(30°) = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см².

Ответ: третья сторона $c = \sqrt{73 - 24\sqrt{3}}$ см, площадь $S = 6$ см².

2) Дано: $a=6$ см, $c=4$ см, $\beta=60°$.

Находим третью сторону $b$ по теореме косинусов:
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\beta)$
$b^2 = 6^2 + 4^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \cos(60°)$
$b^2 = 36 + 16 - 48 \cdot \frac{1}{2} = 52 - 24 = 28$
$b = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$ см.

Находим площадь треугольника $S$:
$S = \frac{1}{2} ac \sin(\beta)$
$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot \sin(60°) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см².

Ответ: третья сторона $b = 2\sqrt{7}$ см, площадь $S = 6\sqrt{3}$ см².

3) Дано: $b=\frac{4}{3}$ м, $c=\frac{3}{4}$ м, $\alpha=45°$.

Находим третью сторону $a$ по теореме косинусов:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha)$
$a^2 = (\frac{4}{3})^2 + (\frac{3}{4})^2 - 2 \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \cos(45°)$
$a^2 = \frac{16}{9} + \frac{9}{16} - 2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{16 \cdot 16 + 9 \cdot 9}{144} - \sqrt{2}$
$a^2 = \frac{256 + 81}{144} - \sqrt{2} = \frac{337}{144} - \sqrt{2} = \frac{337 - 144\sqrt{2}}{144}$
$a = \sqrt{\frac{337 - 144\sqrt{2}}{144}} = \frac{\sqrt{337 - 144\sqrt{2}}}{12}$ м.

Находим площадь треугольника $S$:
$S = \frac{1}{2} bc \sin(\alpha)$
$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \sin(45°) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ м².

Ответ: третья сторона $a = \frac{\sqrt{337 - 144\sqrt{2}}}{12}$ м, площадь $S = \frac{\sqrt{2}}{4}$ м².

4) Дано: $a=0,6$ м, $b=0,8$ м, $\gamma=120°$.

Находим третью сторону $c$ по теореме косинусов. Используем $\cos(120°) = -\cos(60°) = -\frac{1}{2}$:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$
$c^2 = (0,6)^2 + (0,8)^2 - 2 \cdot 0,6 \cdot 0,8 \cdot (-\frac{1}{2})$
$c^2 = 0,36 + 0,64 + 0,96 \cdot \frac{1}{2} = 1 + 0,48 = 1,48$
$c = \sqrt{1,48} = \sqrt{\frac{148}{100}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 37}{100}} = \frac{2\sqrt{37}}{10} = \frac{\sqrt{37}}{5}$ м.

Находим площадь треугольника $S$. Используем $\sin(120°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
$S = \frac{1}{2} ab \sin(\gamma)$
$S = \frac{1}{2} \cdot 0,6 \cdot 0,8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 0,48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{0,48\sqrt{3}}{4} = 0,12\sqrt{3}$ м².
В виде обыкновенной дроби: $S = 0,12\sqrt{3} = \frac{12}{100}\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{25}$ м².

Ответ: третья сторона $c = \frac{\sqrt{37}}{5}$ м, площадь $S = \frac{3\sqrt{3}}{25}$ м².