Страница 116 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.37. Найдите $AC$ и $BC$, если $S_{ABC}=120 \text{ см}^2$, $\angle A=30^\circ$, $AB=75 \text{ см}.

Для решения задачи воспользуемся данными: площадь треугольника $S_{ABC} = 120 \text{ см}^2$, угол $\angle A = 30^\circ$ и сторона $AB = 75 \text{ см}$.

1. Нахождение стороны AC
Площадь треугольника можно вычислить по формуле через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$. Применив эту формулу к нашему треугольнику, получим: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB \cdot \sin A$.
Подставим известные значения. Учитывая, что $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получим уравнение:
$120 = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot 75 \cdot \frac{1}{2}$
$120 = \frac{75 \cdot AC}{4}$
Отсюда выражаем и находим длину стороны $AC$:
$AC = \frac{120 \cdot 4}{75} = \frac{480}{75} = 6.4 \text{ см}$.

2. Нахождение стороны BC
Теперь, зная длины двух сторон ($AC = 6.4 \text{ см}$ и $AB = 75 \text{ см}$) и угол между ними ($\angle A = 30^\circ$), мы можем найти длину третьей стороны $BC$ с помощью теоремы косинусов: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$.
Для нашего треугольника формула выглядит так: $BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2 \cdot AC \cdot AB \cdot \cos A$.
Подставим известные значения, учитывая, что $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
$BC^2 = (6.4)^2 + 75^2 - 2 \cdot 6.4 \cdot 75 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
Выполним вычисления:
$BC^2 = 40.96 + 5625 - 960 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$BC^2 = 5665.96 - 480\sqrt{3}$
Извлекая квадратный корень, получаем точное значение длины стороны $BC$:
$BC = \sqrt{5665.96 - 480\sqrt{3}} \text{ см}$.

Ответ: $AC = 6.4 \text{ см}$; $BC = \sqrt{5665.96 - 480\sqrt{3}} \text{ см}$.

3.38. Даны одна сторона и два угла треугольника. Найдите его третий угол, остальные две стороны и площадь, если:

1) $BC=8$ см, $\angle B=30^\circ$, $\angle C=45^\circ$;

2) $AB=5$ см, $\angle A=75^\circ$, $\angle C=45^\circ$;

3) $AC=12$ см, $\angle B=40^\circ$, $\angle C=120^\circ$;

4) $BC=20$ см, $\angle B=30^\circ$, $\angle C=120^\circ$.

1) Дано: треугольник ABC, сторона $BC = a = 8$ см, $\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 45^\circ$.

1. Найдём третий угол $\angle A$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (30^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$.

2. Найдём остальные стороны $AC$ (обозначим как $b$) и $AB$ (обозначим как $c$) по теореме синусов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

$\frac{8}{\sin 105^\circ} = \frac{b}{\sin 30^\circ} = \frac{c}{\sin 45^\circ}$

Для вычислений нам понадобится значение $\sin 105^\circ$. Используем формулу синуса суммы:

$\sin 105^\circ = \sin(60^\circ+45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

Найдём сторону $AC = b$:

$b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{8 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 105^\circ} = \frac{8 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \frac{4}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \frac{16}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{16(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{16(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = 4(\sqrt{6}-\sqrt{2})\text{ см}$.

Найдём сторону $AB = c$:

$c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A} = \frac{8 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 105^\circ} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = \frac{16(\sqrt{12}-2)}{4} = 4(2\sqrt{3}-2) = 8(\sqrt{3}-1)\text{ см}$.

3. Найдём площадь треугольника $S$ по формуле $S = \frac{1}{2}ac\sin B$:

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8(\sqrt{3}-1) \cdot \sin 30^\circ = 32(\sqrt{3}-1) \cdot \frac{1}{2} = 16(\sqrt{3}-1)\text{ см}^2$.

Ответ: $\angle A=105^\circ$, $AC=4(\sqrt{6}-\sqrt{2})\text{ см}$, $AB=8(\sqrt{3}-1)\text{ см}$, площадь $S=16(\sqrt{3}-1)\text{ см}^2$.

2) Дано: треугольник ABC, сторона $AB = c = 5$ см, $\angle A = 75^\circ$, $\angle C = 45^\circ$.

1. Найдём третий угол $\angle B$:

$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (75^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

2. Найдём остальные стороны $BC = a$ и $AC = b$ по теореме синусов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

$\frac{a}{\sin 75^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ} = \frac{5}{\sin 45^\circ}$

Значение $\sin 75^\circ = \sin(45^\circ+30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

Найдём сторону $BC = a$:

$a = \frac{c \cdot \sin A}{\sin C} = \frac{5 \cdot \sin 75^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2\sqrt{2}} = \frac{5(\sqrt{12}+2)}{4} = \frac{5(2\sqrt{3}+2)}{4} = \frac{5(\sqrt{3}+1)}{2}\text{ см}$.

Найдём сторону $AC = b$:

$b = \frac{c \cdot \sin B}{\sin C} = \frac{5 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{6}}{2}\text{ см}$.

3. Найдём площадь треугольника $S$ по формуле $S = \frac{1}{2}bc\sin A$:

$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{5\sqrt{6}}{2} \cdot 5 \cdot \sin 75^\circ = \frac{25\sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = \frac{25(\sqrt{36}+\sqrt{12})}{16} = \frac{25(6+2\sqrt{3})}{16} = \frac{25(3+\sqrt{3})}{8}\text{ см}^2$.

Ответ: $\angle B=60^\circ$, $BC=\frac{5(\sqrt{3}+1)}{2}\text{ см}$, $AC=\frac{5\sqrt{6}}{2}\text{ см}$, площадь $S=\frac{25(3+\sqrt{3})}{8}\text{ см}^2$.

3) Дано: треугольник ABC, сторона $AC = b = 12$ см, $\angle B = 40^\circ$, $\angle C = 120^\circ$.

1. Найдём третий угол $\angle A$:

$\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (40^\circ + 120^\circ) = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$.

2. Найдём остальные стороны $BC = a$ и $AB = c$ по теореме синусов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

$\frac{a}{\sin 20^\circ} = \frac{12}{\sin 40^\circ} = \frac{c}{\sin 120^\circ}$

Найдём сторону $BC = a$:

$a = \frac{b \cdot \sin A}{\sin B} = \frac{12 \cdot \sin 20^\circ}{\sin 40^\circ}$. Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$, получаем $\sin 40^\circ = 2\sin 20^\circ\cos 20^\circ$.

$a = \frac{12 \cdot \sin 20^\circ}{2\sin 20^\circ\cos 20^\circ} = \frac{6}{\cos 20^\circ}\text{ см}$.

Найдём сторону $AB = c$:

$c = \frac{b \cdot \sin C}{\sin B} = \frac{12 \cdot \sin 120^\circ}{\sin 40^\circ} = \frac{12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sin 40^\circ} = \frac{6\sqrt{3}}{\sin 40^\circ}\text{ см}$.

3. Найдём площадь треугольника $S$ по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin C$:

$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{\cos 20^\circ} \cdot 12 \cdot \sin 120^\circ = \frac{36}{\cos 20^\circ} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{18\sqrt{3}}{\cos 20^\circ}\text{ см}^2$.

Ответ: $\angle A=20^\circ$, $BC=\frac{6}{\cos 20^\circ}\text{ см}$, $AB=\frac{6\sqrt{3}}{\sin 40^\circ}\text{ см}$, площадь $S=\frac{18\sqrt{3}}{\cos 20^\circ}\text{ см}^2$.

4) Дано: треугольник ABC, сторона $BC = a = 20$ см, $\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 120^\circ$.

1. Найдём третий угол $\angle A$:

$\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (30^\circ + 120^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

2. Найдём остальные стороны $AC = b$ и $AB = c$ по теореме синусов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

$\frac{20}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 30^\circ} = \frac{c}{\sin 120^\circ}$

Поскольку $\angle A = \angle B = 30^\circ$, треугольник является равнобедренным с основанием $AB$. Следовательно, стороны, противолежащие равным углам, равны:

$AC = b = a = 20\text{ см}$.

Найдём сторону $AB = c$:

$c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A} = \frac{20 \cdot \sin 120^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 20\sqrt{3}\text{ см}$.

3. Найдём площадь треугольника $S$ по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin C$:

$S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 20 \cdot \sin 120^\circ = \frac{1}{2} \cdot 400 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 100\sqrt{3}\text{ см}^2$.

Ответ: $\angle A=30^\circ$, $AC=20\text{ см}$, $AB=20\sqrt{3}\text{ см}$, площадь $S=100\sqrt{3}\text{ см}^2$.

3.39. Даны три стороны треугольника. Найдите его углы и площадь, если:

1) $a=2$ см, $b=4$ см, $c=5$ см;

2) $a=3$ м, $b=4$ м, $c=5$ м;

3) $a=7$ дм, $b=3$ дм, $c=8$ дм;

4) $a=15$ см, $b=24$ см, $c=18$ см.

Для решения задачи мы будем использовать теорему косинусов для нахождения углов и формулу Герона для нахождения площади треугольника.

Теорема косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$. Отсюда, косинус угла $\gamma$, противолежащего стороне $c$, можно найти по формуле: $\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$. Аналогичные формулы используются для нахождения углов $\alpha$ и $\beta$.

Формула Герона для площади $S$: $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, где $s = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр треугольника.

1) a=2 см, b=4 см, c=5 см;

Сначала проверим неравенство треугольника: $2+4 > 5$ (6>5), $2+5 > 4$ (7>4), $4+5 > 2$ (9>2). Треугольник существует.

Найдем углы, используя теорему косинусов. Пусть $\alpha, \beta, \gamma$ — углы, лежащие против сторон $a, b, c$ соответственно.

$\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{4^2 + 5^2 - 2^2}{2 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{16 + 25 - 4}{40} = \frac{37}{40} = 0.925$

$\alpha = \arccos(0.925) \approx 22.33^\circ$

$\cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{2^2 + 5^2 - 4^2}{2 \cdot 2 \cdot 5} = \frac{4 + 25 - 16}{20} = \frac{13}{20} = 0.65$

$\beta = \arccos(0.65) \approx 49.46^\circ$

$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta \approx 180^\circ - 22.33^\circ - 49.46^\circ \approx 108.21^\circ$

Теперь найдем площадь по формуле Герона. Полупериметр $s$:

$s = \frac{2+4+5}{2} = \frac{11}{2} = 5.5$ см

Площадь $S$:

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{5.5(5.5-2)(5.5-4)(5.5-5)} = \sqrt{5.5 \cdot 3.5 \cdot 1.5 \cdot 0.5} = \sqrt{14.4375}$ см²

Точное значение площади: $S = \sqrt{\frac{11}{2} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{231}}{4}$ см².

Ответ: углы треугольника примерно равны $22.33^\circ, 49.46^\circ, 108.21^\circ$; площадь равна $\frac{\sqrt{231}}{4} \text{ см}^2 \approx 3.8 \text{ см}^2$.

2) a=3 м, b=4 м, c=5 м;

Проверим неравенство треугольника: $3+4 > 5$ (7>5), $3+5 > 4$ (8>4), $4+5 > 3$ (9>3). Треугольник существует.

Заметим, что стороны удовлетворяют теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 = c^2$. Это означает, что треугольник является прямоугольным, и угол $\gamma$, противолежащий стороне $c$ (гипотенузе), равен $90^\circ$.

$\gamma = 90^\circ$

Найдем остальные углы:

$\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{3}{5} = 0.6 \implies \alpha = \arcsin(0.6) \approx 36.87^\circ$

$\sin(\beta) = \frac{b}{c} = \frac{4}{5} = 0.8 \implies \beta = \arcsin(0.8) \approx 53.13^\circ$

Проверка: $90^\circ + 36.87^\circ + 53.13^\circ = 180^\circ$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ м²

Ответ: углы треугольника равны $90^\circ$, примерно $36.87^\circ$ и $53.13^\circ$; площадь равна $6 \text{ м}^2$.

3) a=7 дм, b=3 дм, c=8 дм;

Проверим неравенство треугольника: $7+3 > 8$ (10>8), $7+8 > 3$ (15>3), $3+8 > 7$ (11>7). Треугольник существует.

Найдем углы по теореме косинусов:

$\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{3^2 + 8^2 - 7^2}{2 \cdot 3 \cdot 8} = \frac{9 + 64 - 49}{48} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$

$\alpha = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$

$\cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{7^2 + 8^2 - 3^2}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{49 + 64 - 9}{112} = \frac{104}{112} = \frac{13}{14}$

$\beta = \arccos(\frac{13}{14}) \approx 21.79^\circ$

$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 180^\circ - 60^\circ - 21.79^\circ \approx 98.21^\circ$

Для нахождения площади воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2}bc \sin(\alpha)$, так как угол $\alpha=60^\circ$ имеет точное значение синуса:

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ дм²

Ответ: углы треугольника равны $60^\circ$, примерно $21.79^\circ$ и $98.21^\circ$; площадь равна $6\sqrt{3} \text{ дм}^2 \approx 10.39 \text{ дм}^2$.

4) a=15 см, b=24 см, c=18 см;

Проверим неравенство треугольника: $15+24 > 18$ (39>18), $15+18 > 24$ (33>24), $24+18 > 15$ (42>15). Треугольник существует.

Найдем углы по теореме косинусов:

$\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{24^2 + 18^2 - 15^2}{2 \cdot 24 \cdot 18} = \frac{576 + 324 - 225}{864} = \frac{675}{864} = \frac{25}{32}$

$\alpha = \arccos(\frac{25}{32}) \approx 38.62^\circ$

$\cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{15^2 + 18^2 - 24^2}{2 \cdot 15 \cdot 18} = \frac{225 + 324 - 576}{540} = \frac{-27}{540} = -\frac{1}{20}$

$\beta = \arccos(-\frac{1}{20}) \approx 92.87^\circ$

$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta \approx 180^\circ - 38.62^\circ - 92.87^\circ \approx 48.51^\circ$

Найдем площадь по формуле Герона. Полупериметр $s$:

$s = \frac{15+24+18}{2} = \frac{57}{2} = 28.5$ см

Площадь $S$:

$S = \sqrt{28.5(28.5-15)(28.5-24)(28.5-18)} = \sqrt{28.5 \cdot 13.5 \cdot 4.5 \cdot 10.5}$

$S = \sqrt{\frac{57}{2} \cdot \frac{27}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{21}{2}} = \frac{\sqrt{57 \cdot 27 \cdot 9 \cdot 21}}{4} = \frac{\sqrt{(3 \cdot 19) \cdot (3^3) \cdot (3^2) \cdot (3 \cdot 7)}}{4} = \frac{\sqrt{3^7 \cdot 7 \cdot 19}}{4} = \frac{3^3\sqrt{3 \cdot 7 \cdot 19}}{4} = \frac{27\sqrt{399}}{4}$ см²

Ответ: углы треугольника примерно равны $38.62^\circ, 92.87^\circ, 48.51^\circ$; площадь равна $\frac{27\sqrt{399}}{4} \text{ см}^2 \approx 134.83 \text{ см}^2$.

3.40. Найдите решение треугольника, если даны две стороны и угол, противолежащий одной из них:

1) $a=4$ см, $b=5$ см, $\alpha=60^\circ$;

2) $b=7$ см, $c=3\sqrt{2}$ см, $\gamma=45^\circ$;

3) $a=4\sqrt{3}$ м, $c=4$ м, $\alpha=120^\circ$;

4) $a=8$ дм, $b=5$ дм, $\beta=30^\circ$.

1) Дано: $a=4$ см, $b=5$ см, $\alpha=60^\circ$.
Решение треугольника означает нахождение всех его неизвестных сторон и углов, в данном случае — стороны $c$ и углов $\beta$ и $\gamma$.
Для решения воспользуемся теоремой синусов: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$.
Сначала найдем угол $\beta$:
Из соотношения $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}$ выразим $\sin \beta$:
$\sin \beta = \frac{b \cdot \sin \alpha}{a}$
Подставим известные значения:
$\sin \beta = \frac{5 \cdot \sin 60^\circ}{4} = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{4} = \frac{5\sqrt{3}}{8}$
Приблизительно оценим значение: $\sqrt{3} \approx 1.732$, поэтому $5\sqrt{3} \approx 5 \cdot 1.732 = 8.66$.
$\sin \beta \approx \frac{8.66}{8} \approx 1.0825$.
Поскольку значение синуса любого угла не может превышать 1, а мы получили $\sin \beta > 1$, то треугольник с заданными параметрами не существует.
Ответ: Решения не существует.

2) Дано: $b=7$ см, $c=3\sqrt{2}$ см, $\gamma=45^\circ$.
Необходимо найти сторону $a$ и углы $\alpha$ и $\beta$.
Используем теорему синусов для нахождения угла $\beta$:
$\frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} \Rightarrow \sin \beta = \frac{b \cdot \sin \gamma}{c}$
Подставим известные значения:
$\sin \beta = \frac{7 \cdot \sin 45^\circ}{3\sqrt{2}} = \frac{7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{6\sqrt{2}} = \frac{7}{6}$
Так как $\frac{7}{6} > 1$, синус угла не может принимать такое значение. Следовательно, треугольника с такими параметрами не существует.
Ответ: Решения не существует.

3) Дано: $a=4\sqrt{3}$ м, $c=4$ м, $\alpha=120^\circ$.
Нужно найти сторону $b$ и углы $\beta$ и $\gamma$.
По теореме синусов найдем угол $\gamma$:
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma} \Rightarrow \sin \gamma = \frac{c \cdot \sin \alpha}{a}$
$\sin \gamma = \frac{4 \cdot \sin 120^\circ}{4\sqrt{3}} = \frac{\sin 120^\circ}{\sqrt{3}}$
Значение $\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\sin \gamma = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$
Угол $\gamma$ может быть равен $30^\circ$ или $150^\circ$.
Проверим возможность $\gamma=150^\circ$. Сумма углов в треугольнике $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$. Если $\gamma=150^\circ$, то $\alpha + \gamma = 120^\circ + 150^\circ = 270^\circ$, что больше $180^\circ$. Этот вариант невозможен.
Следовательно, единственное возможное значение $\gamma = 30^\circ$.
Теперь найдем третий угол $\beta$:
$\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma = 180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ$.
Поскольку углы $\beta$ и $\gamma$ равны ($30^\circ$), треугольник является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $b=c$.
Так как $c=4$ м, то и $b=4$ м.
Ответ: $b=4$ м, $\beta=30^\circ$, $\gamma=30^\circ$.

4) Дано: $a=8$ дм, $b=5$ дм, $\beta=30^\circ$.
Нужно найти сторону $c$ и углы $\alpha$ и $\gamma$.
Применим теорему синусов для нахождения угла $\alpha$:
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{a \cdot \sin \beta}{b}$
$\sin \alpha = \frac{8 \cdot \sin 30^\circ}{5} = \frac{8 \cdot \frac{1}{2}}{5} = \frac{4}{5}$
Уравнение $\sin \alpha = 4/5$ в интервале $(0^\circ, 180^\circ)$ имеет два решения: острое $\alpha_1 = \arcsin(4/5)$ и тупое $\alpha_2 = 180^\circ - \arcsin(4/5)$. Проверим, возможны ли оба случая.
Условие существования двух решений: $b < a$ и $b > a \sin \beta$.
$5 < 8$ (верно) и $5 > 8 \sin 30^\circ = 8 \cdot 0.5 = 4$ (верно). Значит, существует два треугольника, удовлетворяющих условиям задачи.

Случай 1: Угол $\alpha$ — острый.
$\alpha_1 = \arcsin(4/5)$.
Находим угол $\gamma_1$: $\gamma_1 = 180^\circ - \beta - \alpha_1 = 180^\circ - 30^\circ - \arcsin(4/5) = 150^\circ - \arcsin(4/5)$.
Находим сторону $c_1$ по теореме синусов: $c_1 = \frac{b \cdot \sin \gamma_1}{\sin \beta} = \frac{5 \cdot \sin(150^\circ - \arcsin(4/5))}{\sin 30^\circ} = 10 \cdot \sin(150^\circ - \arcsin(4/5))$.
Используем формулу синуса разности: $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$.
$\sin \alpha_1 = 4/5$, $\cos \alpha_1 = \sqrt{1 - (4/5)^2} = 3/5$.
$\sin \gamma_1 = \sin 150^\circ \cos \alpha_1 - \cos 150^\circ \sin \alpha_1 = (\frac{1}{2})(\frac{3}{5}) - (-\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{4}{5}) = \frac{3}{10} + \frac{4\sqrt{3}}{10} = \frac{3+4\sqrt{3}}{10}$.
$c_1 = 10 \cdot \frac{3+4\sqrt{3}}{10} = 3+4\sqrt{3}$ дм.

Случай 2: Угол $\alpha$ — тупой.
$\alpha_2 = 180^\circ - \arcsin(4/5)$.
Находим угол $\gamma_2$: $\gamma_2 = 180^\circ - \beta - \alpha_2 = 180^\circ - 30^\circ - (180^\circ - \arcsin(4/5)) = \arcsin(4/5) - 30^\circ$.
Находим сторону $c_2$: $c_2 = \frac{b \cdot \sin \gamma_2}{\sin \beta} = \frac{5 \cdot \sin(\arcsin(4/5) - 30^\circ)}{\sin 30^\circ} = 10 \cdot \sin(\arcsin(4/5) - 30^\circ)$.
Используем формулу синуса разности:
$\sin \gamma_2 = \sin(\alpha_1) \cos 30^\circ - \cos(\alpha_1) \sin 30^\circ = (\frac{4}{5})(\frac{\sqrt{3}}{2}) - (\frac{3}{5})(\frac{1}{2}) = \frac{4\sqrt{3}}{10} - \frac{3}{10} = \frac{4\sqrt{3}-3}{10}$.
$c_2 = 10 \cdot \frac{4\sqrt{3}-3}{10} = 4\sqrt{3}-3$ дм.

Задача имеет два решения.
Ответ: 1) $\alpha_1=\arcsin(4/5)$, $\gamma_1=150^\circ - \arcsin(4/5)$, $c_1=3+4\sqrt{3}$ дм; 2) $\alpha_2=180^\circ - \arcsin(4/5)$, $\gamma_2=\arcsin(4/5)-30^\circ$, $c_2=4\sqrt{3}-3$ дм.

3.41. В параллелограмме стороны равны 4 см и 6 см, а острый угол равен $45^\circ$. Найдите его меньшую диагональ.

Пусть в параллелограмме ABCD стороны $AB = 4$ см, $AD = 6$ см, а острый угол при вершине A равен $\angle DAB = 45^\circ$. В параллелограмме две диагонали разной длины. Меньшая диагональ лежит напротив острого угла, а большая — напротив тупого. Следовательно, нам нужно найти длину диагонали BD.

Рассмотрим треугольник ABD. Его стороны — это две стороны параллелограмма $AB=4$ см и $AD=6$ см, и искомая диагональ $BD$. Угол между известными сторонами равен $\angle A = 45^\circ$.

Для нахождения длины третьей стороны треугольника (диагонали $d=BD$) по двум сторонам и углу между ними воспользуемся теоремой косинусов:

$d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$

Подставим известные значения в формулу:

$d^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos(45^\circ)$

Выполним вычисления:

$d^2 = 16 + 36 - 48 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$d^2 = 52 - 24\sqrt{2}$

Теперь найдем длину диагонали, взяв квадратный корень из полученного выражения:

$d = \sqrt{52 - 24\sqrt{2}}$

Таким образом, длина меньшей диагонали параллелограмма равна $\sqrt{52 - 24\sqrt{2}}$ см.

Ответ: $\sqrt{52 - 24\sqrt{2}}$ см.

3.42. Стороны треугольника равны 4 см, 5 см и 6 см. Найдите проекции двух сторон треугольника на его большую сторону.

Пусть дан треугольник со сторонами, равными 4 см, 5 см и 6 см. Большая сторона равна 6 см. Необходимо найти проекции двух меньших сторон (4 см и 5 см) на большую сторону.

Обозначим вершины треугольника как $A$, $B$, $C$. Пусть сторона $AB = 6$ см, $AC = 4$ см и $BC = 5$ см. Опустим из вершины $C$ высоту $CH$ на сторону $AB$. Отрезок $AH$ является проекцией стороны $AC$ на сторону $AB$, а отрезок $BH$ — проекцией стороны $BC$ на сторону $AB$. Наша задача — найти длины отрезков $AH$ и $BH$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов. Обозначим стороны: $a = BC = 5$ см, $b = AC = 4$ см, $c = AB = 6$ см.

Найдем косинус угла $A$ по теореме косинусов:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)$

Выразим отсюда $\cos(A)$:

$\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Подставим значения длин сторон:

$\cos(A) = \frac{4^2 + 6^2 - 5^2}{2 \cdot 4 \cdot 6} = \frac{16 + 36 - 25}{48} = \frac{52 - 25}{48} = \frac{27}{48} = \frac{9}{16}$

Теперь мы можем найти длину проекции $AH$. В прямоугольном треугольнике $AHC$ длина катета $AH$ равна произведению гипотенузы $AC$ на косинус прилежащего угла $A$:

$AH = AC \cdot \cos(A) = 4 \cdot \frac{9}{16} = \frac{36}{16} = \frac{9}{4} = 2,25$ см.

Сумма длин проекций $AH$ и $BH$ равна длине стороны $AB$. Следовательно, длину второй проекции $BH$ можно найти вычитанием:

$BH = AB - AH = 6 - 2,25 = 3,75$ см.

Таким образом, проекция стороны длиной 4 см на большую сторону равна 2,25 см, а проекция стороны длиной 5 см равна 3,75 см.

Ответ: проекции двух сторон на большую сторону равны 2,25 см и 3,75 см.

3.43. Даны две стороны треугольника и угол между ними. Найдите третью сторону и площадь треугольника, если:

1) $a=3$ см, $b=8$ см, $\gamma=30^\circ$;

2) $a=6$ см, $c=4$ см, $\beta=60^\circ$;

3) $b=\frac{4}{3}$ м, $c=\frac{3}{4}$ м, $\alpha=45^\circ$;

4) $a=0,6$ м, $b=0,8$ м, $\gamma=120^\circ$.

Для решения задачи будем использовать теорему косинусов для нахождения третьей стороны и формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними.

Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Например, для стороны $c$: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$.

Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma)$, где $a$ и $b$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.

1) Дано: $a=3$ см, $b=8$ см, $\gamma=30°$.

Находим третью сторону $c$ по теореме косинусов:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$
$c^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos(30°)$
$c^2 = 9 + 64 - 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 73 - 24\sqrt{3}$
$c = \sqrt{73 - 24\sqrt{3}}$ см.

Находим площадь треугольника $S$:
$S = \frac{1}{2} ab \sin(\gamma)$
$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \sin(30°) = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см².

Ответ: третья сторона $c = \sqrt{73 - 24\sqrt{3}}$ см, площадь $S = 6$ см².

2) Дано: $a=6$ см, $c=4$ см, $\beta=60°$.

Находим третью сторону $b$ по теореме косинусов:
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\beta)$
$b^2 = 6^2 + 4^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \cos(60°)$
$b^2 = 36 + 16 - 48 \cdot \frac{1}{2} = 52 - 24 = 28$
$b = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$ см.

Находим площадь треугольника $S$:
$S = \frac{1}{2} ac \sin(\beta)$
$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot \sin(60°) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см².

Ответ: третья сторона $b = 2\sqrt{7}$ см, площадь $S = 6\sqrt{3}$ см².

3) Дано: $b=\frac{4}{3}$ м, $c=\frac{3}{4}$ м, $\alpha=45°$.

Находим третью сторону $a$ по теореме косинусов:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha)$
$a^2 = (\frac{4}{3})^2 + (\frac{3}{4})^2 - 2 \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \cos(45°)$
$a^2 = \frac{16}{9} + \frac{9}{16} - 2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{16 \cdot 16 + 9 \cdot 9}{144} - \sqrt{2}$
$a^2 = \frac{256 + 81}{144} - \sqrt{2} = \frac{337}{144} - \sqrt{2} = \frac{337 - 144\sqrt{2}}{144}$
$a = \sqrt{\frac{337 - 144\sqrt{2}}{144}} = \frac{\sqrt{337 - 144\sqrt{2}}}{12}$ м.

Находим площадь треугольника $S$:
$S = \frac{1}{2} bc \sin(\alpha)$
$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \sin(45°) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ м².

Ответ: третья сторона $a = \frac{\sqrt{337 - 144\sqrt{2}}}{12}$ м, площадь $S = \frac{\sqrt{2}}{4}$ м².

4) Дано: $a=0,6$ м, $b=0,8$ м, $\gamma=120°$.

Находим третью сторону $c$ по теореме косинусов. Используем $\cos(120°) = -\cos(60°) = -\frac{1}{2}$:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$
$c^2 = (0,6)^2 + (0,8)^2 - 2 \cdot 0,6 \cdot 0,8 \cdot (-\frac{1}{2})$
$c^2 = 0,36 + 0,64 + 0,96 \cdot \frac{1}{2} = 1 + 0,48 = 1,48$
$c = \sqrt{1,48} = \sqrt{\frac{148}{100}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 37}{100}} = \frac{2\sqrt{37}}{10} = \frac{\sqrt{37}}{5}$ м.

Находим площадь треугольника $S$. Используем $\sin(120°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
$S = \frac{1}{2} ab \sin(\gamma)$
$S = \frac{1}{2} \cdot 0,6 \cdot 0,8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 0,48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{0,48\sqrt{3}}{4} = 0,12\sqrt{3}$ м².
В виде обыкновенной дроби: $S = 0,12\sqrt{3} = \frac{12}{100}\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{25}$ м².

Ответ: третья сторона $c = \frac{\sqrt{37}}{5}$ м, площадь $S = \frac{3\sqrt{3}}{25}$ м².

3.44. Найдите все высоты треугольника, если его стороны равны 5 см, 6 см и 7 см.

Для нахождения всех высот треугольника, зная длины его сторон, можно использовать метод, основанный на вычислении площади. Сначала мы вычислим площадь треугольника по формуле Герона, а затем, используя другую формулу площади ($S = \frac{1}{2}ah$), найдем каждую из трех высот.

Стороны треугольника равны $a = 5$ см, $b = 6$ см и $c = 7$ см.

1. Вычисление полупериметра.
Полупериметр $p$ вычисляется по формуле: $p = \frac{a+b+c}{2}$.
Подставим значения сторон: $p = \frac{5 + 6 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

2. Вычисление площади треугольника по формуле Герона.
Формула Герона для площади $S$ треугольника: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.
Вычислим разности, необходимые для формулы:
$p-a = 9 - 5 = 4$ см.
$p-b = 9 - 6 = 3$ см.
$p-c = 9 - 7 = 2$ см.
Теперь подставим все значения в формулу Герона:
$S = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216}$.
Упростим корень: $\sqrt{216} = \sqrt{36 \cdot 6} = 6\sqrt{6}$ см$^2$.

3. Вычисление высот треугольника.
Площадь треугольника также можно выразить через сторону (основание) и высоту, проведенную к этой стороне: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.
Отсюда высота $h$ к стороне $a$ равна: $h_a = \frac{2S}{a}$. Аналогично для других сторон.

Высота $h_a$, проведенная к стороне $a = 5$ см:
$h_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot 6\sqrt{6}}{5} = \frac{12\sqrt{6}}{5}$ см.

Высота $h_b$, проведенная к стороне $b = 6$ см:
$h_b = \frac{2S}{b} = \frac{2 \cdot 6\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6}$ см.

Высота $h_c$, проведенная к стороне $c = 7$ см:
$h_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 6\sqrt{6}}{7} = \frac{12\sqrt{6}}{7}$ см.

Ответ: высоты треугольника равны $\frac{12\sqrt{6}}{5}$ см, $2\sqrt{6}$ см и $\frac{12\sqrt{6}}{7}$ см.

3.45. Две равные силы, образующие между собой угол 72°, приложены к одной точке. Равнодействующая им сила равна 120 Н. Определите величину этих сил.

Для определения величины сил воспользуемся правилом сложения векторов (правилом параллелограмма) и теоремой косинусов. Пусть $F$ — искомая величина каждой из двух равных сил, $\alpha = 72^\circ$ — угол между ними, а $R = 120$ Н — величина их равнодействующей силы.

Согласно теореме косинусов для векторов, квадрат модуля равнодействующей силы $R$ можно найти по формуле:

$R^2 = F^2 + F^2 + 2 \cdot F \cdot F \cdot \cos\alpha$

Так как силы равны, мы можем упростить выражение:

$R^2 = 2F^2 + 2F^2 \cos\alpha$

$R^2 = 2F^2(1 + \cos\alpha)$

Выразим отсюда величину силы $F$:

$F^2 = \frac{R^2}{2(1 + \cos\alpha)}$

$F = \frac{R}{\sqrt{2(1 + \cos\alpha)}}$

Для упрощения расчетов можно использовать тригонометрическую формулу половинного угла: $1 + \cos\alpha = 2\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$. Подставив ее в знаменатель, получим:

$F = \frac{R}{\sqrt{2 \cdot 2\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}} = \frac{R}{\sqrt{4\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}} = \frac{R}{2\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

Теперь подставим числовые значения: $R = 120$ Н и $\alpha = 72^\circ$, следовательно $\frac{\alpha}{2} = 36^\circ$.

$F = \frac{120}{2\cos(36^\circ)}$

Значение косинуса $36^\circ$ приблизительно равно $0.8090$.

$F \approx \frac{120}{2 \cdot 0.8090} = \frac{120}{1.618} \approx 74.1656$ Н.

Округлим результат до десятых.

Ответ: Величина каждой из сил составляет примерно 74,2 Н.