Страница 117 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.46. Силы величиной 100 Н и 200 Н, образующие между собой угол 50°, приложены к одной точке. Найдите величину равнодействующей силы и углы, образованные этой силой с исходными силами.

Для решения задачи воспользуемся методами векторной алгебры. Даны две силы, $F_1 = 100$ Н и $F_2 = 200$ Н, приложенные к одной точке под углом $\gamma = 50^\circ$. Равнодействующая сила $\vec{R}$ является векторной суммой исходных сил: $\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$.

Геометрически равнодействующая сила $\vec{R}$ является диагональю параллелограмма, построенного на векторах $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$ как на сторонах, исходящих из одной точки. Это показано на рисунке ниже, где $\alpha_1$ и $\alpha_2$ — искомые углы.

Нахождение величины равнодействующей силы

Для нахождения модуля (величины) равнодействующей силы $R$ воспользуемся теоремой косинусов. Формула для суммы двух векторов имеет вид:

$R^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2 F_1 F_2 \cos \gamma$

Подставим известные значения: $F_1 = 100$ Н, $F_2 = 200$ Н, $\gamma = 50^\circ$.

$R^2 = 100^2 + 200^2 + 2 \cdot 100 \cdot 200 \cdot \cos(50^\circ)$

$R^2 = 10000 + 40000 + 40000 \cdot \cos(50^\circ)$

Используя значение $\cos(50^\circ) \approx 0.6428$, получаем:

$R^2 \approx 50000 + 40000 \cdot 0.6428 = 50000 + 25712 = 75712$

Теперь найдем величину $R$, извлекая квадратный корень:

$R = \sqrt{75712} \approx 275.2$ Н

Нахождение углов, образованных равнодействующей силой с исходными силами

Для нахождения углов $\alpha_1$ и $\alpha_2$ воспользуемся теоремой синусов для треугольника со сторонами $R$, $F_1$ и $F_2$.

Соотношение по теореме синусов для угла $\alpha_1$ (угол между $\vec{R}$ и $\vec{F_1}$):

$\frac{F_2}{\sin \alpha_1} = \frac{R}{\sin \gamma}$

Отсюда выразим $\sin \alpha_1$:

$\sin \alpha_1 = \frac{F_2 \sin \gamma}{R}$

Подставим значения: $F_2 = 200$ Н, $\gamma = 50^\circ$, $R \approx 275.2$ Н. Используя значение $\sin(50^\circ) \approx 0.7660$, получаем:

$\sin \alpha_1 \approx \frac{200 \cdot 0.7660}{275.2} = \frac{153.2}{275.2} \approx 0.5567$

Теперь найдем угол $\alpha_1$:

$\alpha_1 = \arcsin(0.5567) \approx 33.8^\circ$

Сумма углов $\alpha_1$ и $\alpha_2$ равна углу между исходными силами $\gamma$:

$\alpha_1 + \alpha_2 = \gamma$

Отсюда находим угол $\alpha_2$ (угол между $\vec{R}$ и $\vec{F_2}$):

$\alpha_2 = \gamma - \alpha_1 = 50^\circ - 33.8^\circ = 16.2^\circ$

Ответ: величина равнодействующей силы приблизительно равна 275.2 Н; углы, образованные равнодействующей с силами 100 Н и 200 Н, равны соответственно $33.8^\circ$ и $16.2^\circ$.

3.47. Две стороны треугольника равны $\sqrt{13}$ и $\sqrt{10}$, а третья сторона – высоте, опущенной к ней. Найдите третью сторону треугольника.

Пусть стороны треугольника равны $a, b, c$. По условию, две стороны равны $b = \sqrt{13}$ и $c = \sqrt{10}$. Третья сторона, которую мы обозначим как $a$, равна высоте $h_a$, опущенной на нее. Таким образом, у нас есть условие $a = h_a$.

Для нахождения стороны $a$ мы можем использовать две разные формулы для вычисления площади треугольника $S$ и приравнять полученные выражения.

С одной стороны, площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:$S = \frac{1}{2} a h_a$.Поскольку $h_a = a$, формула принимает вид:$S = \frac{1}{2} a \cdot a = \frac{1}{2} a^2$.Отсюда квадрат площади равен $S^2 = \frac{1}{4} a^4$.

С другой стороны, площадь треугольника можно вычислить по формуле Герона, если известны все три стороны:$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$,где $p$ — полупериметр треугольника. В нашем случае стороны равны $a, \sqrt{13}, \sqrt{10}$, а полупериметр:$p = \frac{a + \sqrt{13} + \sqrt{10}}{2}$.

Выразим квадрат площади через формулу Герона:$S^2 = p(p-a)(p-b)(p-c)$$S^2 = \left(\frac{a+\sqrt{13}+\sqrt{10}}{2}\right)\left(\frac{a+\sqrt{13}+\sqrt{10}}{2}-a\right)\left(\frac{a+\sqrt{13}+\sqrt{10}}{2}-\sqrt{13}\right)\left(\frac{a+\sqrt{13}+\sqrt{10}}{2}-\sqrt{10}\right)$$S^2 = \frac{(a+\sqrt{13}+\sqrt{10})(-a+\sqrt{13}+\sqrt{10})(a-\sqrt{13}+\sqrt{10})(a+\sqrt{13}-\sqrt{10})}{16}$.

Чтобы упростить выражение в числителе, сгруппируем слагаемые и применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$:$16S^2 = [(\sqrt{13}+\sqrt{10})+a][(\sqrt{13}+\sqrt{10})-a] \cdot [a-(\sqrt{13}-\sqrt{10})][a+(\sqrt{13}-\sqrt{10})]$$16S^2 = [(\sqrt{13}+\sqrt{10})^2 - a^2] \cdot [a^2 - (\sqrt{13}-\sqrt{10})^2]$$16S^2 = [13+10+2\sqrt{130} - a^2] \cdot [a^2 - (13+10-2\sqrt{130})]$$16S^2 = [23+2\sqrt{130} - a^2] \cdot [a^2 - 23+2\sqrt{130}]$$16S^2 = [(2\sqrt{130}) + (23 - a^2)] \cdot [(2\sqrt{130}) - (23 - a^2)]$$16S^2 = (2\sqrt{130})^2 - (23-a^2)^2$$16S^2 = 4 \cdot 130 - (23^2 - 2 \cdot 23 \cdot a^2 + a^4)$$16S^2 = 520 - (529 - 46a^2 + a^4)$$16S^2 = 520 - 529 + 46a^2 - a^4$$16S^2 = -9 + 46a^2 - a^4$.

Теперь приравняем два полученных выражения для квадрата площади. Из первой формулы мы знаем, что $S^2 = \frac{1}{4} a^4$, значит $16S^2 = 16 \cdot \frac{1}{4} a^4 = 4a^4$.$4a^4 = -9 + 46a^2 - a^4$.

Перенесем все члены в левую часть уравнения:$5a^4 - 46a^2 + 9 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $Z = a^2$. Поскольку $a$ — это длина стороны, $a>0$, и, следовательно, $Z>0$.$5Z^2 - 46Z + 9 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение относительно $Z$ с помощью дискриминанта:$D = b^2 - 4ac = (-46)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 9 = 2116 - 180 = 1936$.Корень из дискриминанта: $\sqrt{1936} = 44$.$Z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{46 \pm 44}{2 \cdot 5}$.

Находим два корня для $Z$:$Z_1 = \frac{46 + 44}{10} = \frac{90}{10} = 9$.$Z_2 = \frac{46 - 44}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Оба корня положительны, поэтому оба являются допустимыми значениями для $a^2$. Вернемся к переменной $a$:Если $a^2 = 9$, то $a = \sqrt{9} = 3$.Если $a^2 = \frac{1}{5}$, то $a = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

Мы получили два возможных значения для третьей стороны. Необходимо убедиться, что для каждого из них выполняется неравенство треугольника (сумма длин двух любых сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны).

Случай 1: Стороны треугольника равны $3, \sqrt{10}, \sqrt{13}$.Приближенные значения: $\sqrt{10} \approx 3.16$, $\sqrt{13} \approx 3.61$.$3 + \sqrt{10} > \sqrt{13} \implies 3+3.16 > 3.61 \implies 6.16 > 3.61$ (верно).$3 + \sqrt{13} > \sqrt{10}$ (верно).$\sqrt{10} + \sqrt{13} > 3$ (верно).Все неравенства выполняются, значит, такой треугольник существует.

Случай 2: Стороны треугольника равны $\frac{\sqrt{5}}{5}, \sqrt{10}, \sqrt{13}$.Проверим наиболее "тесное" неравенство: $\frac{\sqrt{5}}{5} + \sqrt{10} > \sqrt{13}$.Так как обе части неравенства положительны, возведем их в квадрат:$(\frac{\sqrt{5}}{5} + \sqrt{10})^2 > (\sqrt{13})^2$$(\frac{\sqrt{5}}{5})^2 + 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \sqrt{10} + (\sqrt{10})^2 > 13$$\frac{5}{25} + \frac{2\sqrt{50}}{5} + 10 > 13$$\frac{1}{5} + \frac{2 \cdot 5\sqrt{2}}{5} + 10 > 13$$0.2 + 2\sqrt{2} + 10 > 13$$10.2 + 2\sqrt{2} > 13$$2\sqrt{2} > 2.8$$\sqrt{2} > 1.4$Возведем в квадрат еще раз: $(\sqrt{2})^2 > (1.4)^2 \implies 2 > 1.96$. Неравенство верно.Два других неравенства ($\frac{\sqrt{5}}{5} + \sqrt{13} > \sqrt{10}$ и $\sqrt{10} + \sqrt{13} > \frac{\sqrt{5}}{5}$) очевидно верны.Следовательно, такой треугольник тоже существует.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: $3$ или $\frac{\sqrt{5}}{5}$.

3.48. Одна из диагоналей ромба, равная 20 см, образует со стороной угол $20^\circ$. Найдите сторону и другую диагональ ромба.

Для решения задачи воспользуемся основными свойствами ромба: все его стороны равны, а диагонали взаимно перпендикулярны, делят углы ромба пополам и в точке пересечения делятся пополам.

Пусть нам дан ромб ABCD. Его диагонали AC и BD пересекаются в точке O. По условию, одна из диагоналей равна 20 см и образует со стороной угол 20°. Примем, что диагональ $AC = d_1 = 20$ см, а угол, который она образует со стороной AB, это $\angle BAC = 20°$.

Рассмотрим треугольник AOB. Так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом, этот треугольник является прямоугольным ($\angle AOB = 90°$). Катет AO равен половине диагонали AC: $AO = \frac{AC}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см. Угол $\angle BAO$ равен $20°$. Гипотенуза AB является стороной ромба ($a$), а катет BO — половиной второй диагонали ($d_2$).

Сторона ромба
Для нахождения стороны ромба $a$ (гипотенузы AB) в прямоугольном треугольнике AOB воспользуемся соотношением для косинуса угла:
$ \cos(\angle BAO) = \frac{AO}{AB} $.
Подставим известные значения:
$ \cos(20°) = \frac{10}{a} $.
Выразим отсюда сторону $a$:
$ a = \frac{10}{\cos(20°)} $.
Приблизительное значение: $a \approx \frac{10}{0.9397} \approx 10.64$ см.
Ответ: сторона ромба равна $\frac{10}{\cos(20°)}$ см (приблизительно 10.64 см).

Другая диагональ ромба
Для нахождения второй диагонали $d_2$ сначала найдем ее половину — катет BO в том же треугольнике AOB. Воспользуемся соотношением для тангенса угла:
$ \tan(\angle BAO) = \frac{BO}{AO} $.
Подставим известные значения:
$ \tan(20°) = \frac{BO}{10} $.
Выразим отсюда BO:
$ BO = 10 \cdot \tan(20°) $.
Так как диагональ $d_2 = 2 \cdot BO$, то:
$ d_2 = 20 \cdot \tan(20°) $.
Приблизительное значение: $d_2 \approx 20 \cdot 0.3640 \approx 7.28$ см.
Ответ: другая диагональ ромба равна $20 \cdot \tan(20°)$ см (приблизительно 7.28 см).

3.49. Как найти расстояние между точками A и C, если $AB=a$, $\angle BAC=\alpha$, $\angle ABC=\beta$ (рис. 3.10)?

Рис. 3.10

Для нахождения расстояния между точками A и C, то есть длины стороны AC, воспользуемся теоремой синусов для треугольника $ABC$. Теорема синусов гласит, что отношение длин сторон треугольника к синусам противолежащих им углов равны:

$\frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = \frac{AB}{\sin(\angle ACB)}$

Нам известны следующие величины:

• $AB = a$
• $\angle BAC = \alpha$
• $\angle ABC = \beta$

Для применения теоремы синусов нам необходимо найти угол $\angle ACB$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle ACB = 180^\circ - (\angle BAC + \angle ABC) = 180^\circ - (\alpha + \beta)$

Теперь подставим все известные значения в формулу теоремы синусов:

$\frac{AC}{\sin \beta} = \frac{a}{\sin(180^\circ - (\alpha + \beta))}$

Согласно формулам приведения в тригонометрии, $\sin(180^\circ - x) = \sin x$. Применив это свойство, получаем:

$\sin(180^\circ - (\alpha + \beta)) = \sin(\alpha + \beta)$

Таким образом, наше уравнение принимает вид:

$\frac{AC}{\sin \beta} = \frac{a}{\sin(\alpha + \beta)}$

Выразим из этого уравнения искомую сторону $AC$:

$AC = \frac{a \cdot \sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)}$

Ответ: $AC = \frac{a \sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)}$

3.50. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб со стороной $a$ и острым углом $\alpha$.

Пусть дан ромб со стороной $a$ и острым углом $α$. Необходимо найти радиус $r$ вписанной в него окружности.

Диаметр вписанной в ромб окружности равен высоте ромба $h$. Радиус $r$ равен половине диаметра, следовательно: $r = \frac{h}{2}$

Для наглядности рассмотрим рисунок:

Чтобы найти радиус, необходимо сначала определить высоту ромба $h$. Проведем высоту из вершины $D$ к стороне $AB$. Образуется прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является сторона ромба $a$, а катетом, противолежащим острому углу $α$, является высота $h$.

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике имеем: $ \sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{h}{a} $

Отсюда выразим высоту $h$: $ h = a \cdot \sin(\alpha) $

Теперь, зная высоту, мы можем найти радиус вписанной окружности, подставив полученное выражение в формулу для радиуса: $ r = \frac{h}{2} = \frac{a \cdot \sin(\alpha)}{2} $

Ответ: $r = \frac{a \sin(\alpha)}{2}$

3.51. В трапеции основания равны 14 м и 19 м, а боковые стороны – 6 м и 8 м. Найдите углы трапеции.

Пусть дана трапеция ABCD, в которой основания BC и AD параллельны. По условию, длины оснований равны $BC = 14$ м и $AD = 19$ м, а длины боковых сторон равны $AB = 6$ м и $CD = 8$ м.

Для нахождения углов трапеции воспользуемся методом дополнительного построения. Проведем через вершину C прямую CE, параллельную боковой стороне AB, так, чтобы точка E лежала на основании AD.

В результате такого построения мы получаем параллелограмм ABCE, поскольку по построению $CE \parallel AB$ и по определению трапеции $BC \parallel AE$. Из свойств параллелограмма следует, что противоположные стороны равны: $AE = BC = 14$ м и $CE = AB = 6$ м.

Теперь рассмотрим треугольник CDE. Мы знаем длины всех его сторон:

• $CE = 6$ м
• $CD = 8$ м
• $DE = AD - AE = 19 - 14 = 5$ м

Зная все стороны треугольника, мы можем найти его углы с помощью теоремы косинусов.

Найдем угол D трапеции, который равен углу $\angle CDE$ в треугольнике CDE. По теореме косинусов:

$CE^2 = CD^2 + DE^2 - 2 \cdot CD \cdot DE \cdot \cos(\angle D)$

$6^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos(\angle D)$

$36 = 64 + 25 - 80 \cos(\angle D)$

$36 = 89 - 80 \cos(\angle D)$

$80 \cos(\angle D) = 89 - 36 = 53$

$\cos(\angle D) = \frac{53}{80}$

Следовательно, $\angle D = \arccos\left(\frac{53}{80}\right)$.

Теперь найдем угол A трапеции. Поскольку $AB \parallel CE$ и AD — секущая, то сумма внутренних односторонних углов $\angle BAE$ и $\angle AEC$ равна $180^\circ$. Углы $\angle AEC$ и $\angle CED$ — смежные, их сумма также равна $180^\circ$. Отсюда следует, что $\angle A = \angle BAE = \angle CED$.

Найдем угол $\angle CED$ из треугольника CDE по теореме косинусов:

$CD^2 = CE^2 + DE^2 - 2 \cdot CE \cdot DE \cdot \cos(\angle CED)$

$8^2 = 6^2 + 5^2 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cos(\angle CED)$

$64 = 36 + 25 - 60 \cos(\angle CED)$

$64 = 61 - 60 \cos(\angle CED)$

$60 \cos(\angle CED) = 61 - 64 = -3$

$\cos(\angle A) = \cos(\angle CED) = -\frac{3}{60} = -\frac{1}{20}$

Следовательно, $\angle A = \arccos\left(-\frac{1}{20}\right)$. Отрицательное значение косинуса указывает на то, что угол A является тупым.

Оставшиеся углы B и C найдем, используя свойство трапеции о том, что сумма углов при каждой боковой стороне равна $180^\circ$ (или $\pi$ радиан).

$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - \arccos\left(-\frac{1}{20}\right)$. Используя тригонометрическое тождество $\arccos(-x) = 180^\circ - \arccos(x)$, получаем: $\angle B = \arccos\left(\frac{1}{20}\right)$.

$\angle C = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - \arccos\left(\frac{53}{80}\right)$.

Ответ: Углы трапеции равны $\arccos\left(-\frac{1}{20}\right)$, $\arccos\left(\frac{1}{20}\right)$, $180^\circ - \arccos\left(\frac{53}{80}\right)$ и $\arccos\left(\frac{53}{80}\right)$.

3.52. В параллелограмме одна из диагоналей, равная 18 см, образует со сторонами углы $20^\circ$ и $40^\circ$. Найдите стороны параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Диагональ $AC$ равна 18 см. По условию, эта диагональ образует со сторонами параллелограмма углы $20^{\circ}$ и $40^{\circ}$. Предположим, что эти углы образованы диагональю со смежными сторонами, выходящими из одной вершины, например, $A$. Таким образом, пусть $\angle BAC = 20^{\circ}$ и $\angle DAC = 40^{\circ}$.

Для нахождения сторон параллелограмма $AB$ и $BC$ (равной $AD$) рассмотрим треугольник $ABC$.

1. Найдем угол $\angle BAD$ параллелограмма. Он равен сумме двух углов, на которые его делит диагональ $AC$:
$\angle BAD = \angle BAC + \angle DAC = 20^{\circ} + 40^{\circ} = 60^{\circ}$.

2. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ}$. Следовательно, угол $\angle ABC$ равен:
$\angle ABC = 180^{\circ} - \angle BAD = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

3. В параллелограмме противолежащие стороны параллельны, т.е. $AD \parallel BC$. Прямая $AC$ является для них секущей. Поэтому накрест лежащие углы равны:
$\angle BCA = \angle DAC = 40^{\circ}$.

4. Теперь в треугольнике $ABC$ известны все углы ($\angle BAC = 20^{\circ}$, $\angle BCA = 40^{\circ}$, $\angle ABC = 120^{\circ}$) и сторона $AC = 18$ см. Применим теорему синусов, чтобы найти длины сторон $AB$ и $BC$: $\frac{AB}{\sin(\angle BCA)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}$

Подставляем известные значения: $\frac{AB}{\sin(40^{\circ})} = \frac{BC}{\sin(20^{\circ})} = \frac{18}{\sin(120^{\circ})}$

Из этого соотношения выражаем длины сторон $AB$ и $BC$:
$AB = \frac{18 \cdot \sin(40^{\circ})}{\sin(120^{\circ})}$
$BC = \frac{18 \cdot \sin(20^{\circ})}{\sin(120^{\circ})}$

Так как $\sin(120^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin(60^{\circ})$, то окончательные выражения для сторон параллелограмма: $AB = \frac{18 \sin(40^{\circ})}{\sin(60^{\circ})}$ см.
$BC = \frac{18 \sin(20^{\circ})}{\sin(60^{\circ})}$ см.

Ответ: Стороны параллелограмма равны $\frac{18 \sin(40^{\circ})}{\sin(60^{\circ})}$ см и $\frac{18 \sin(20^{\circ})}{\sin(60^{\circ})}$ см.

3.53. В треугольнике две стороны равны 5 м и 6 м, а косинус угла между ними 0,6. Найдите медианы треугольника.

Пусть в треугольнике даны две стороны $a = 5$ м и $b = 6$ м, и угол $\gamma$ между ними, такой что $\cos \gamma = 0,6$. Найдем все три медианы этого треугольника.

1. Нахождение третьей стороны треугольника.

Для нахождения длины третьей стороны $c$ воспользуемся теоремой косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma$

Подставим известные значения:

$c^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 0,6$

$c^2 = 25 + 36 - 60 \cdot 0,6$

$c^2 = 61 - 36$

$c^2 = 25$

$c = \sqrt{25} = 5$ м.

Таким образом, стороны треугольника равны 5 м, 6 м и 5 м. Треугольник является равнобедренным.

2. Нахождение длин медиан.

Для вычисления длины медианы, проведенной к стороне $x$ в треугольнике со сторонами $x, y, z$, используется формула:

$m_x = \frac{1}{2}\sqrt{2y^2 + 2z^2 - x^2}$

В нашем треугольнике стороны равны $a=5$ м, $b=6$ м, $c=5$ м. Найдем медианы к каждой из сторон.

Медиана к стороне длиной 6 м (к стороне $b$):

$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2}$

$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 5^2 + 2 \cdot 5^2 - 6^2}$

$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 25 + 2 \cdot 25 - 36}$

$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{50 + 50 - 36}$

$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{100 - 36}$

$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{64} = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ м.

Медианы к сторонам длиной 5 м (к сторонам $a$ и $c$):

Поскольку треугольник равнобедренный со сторонами $a=c=5$ м, медианы, проведенные к этим сторонам, будут равны ($m_a = m_c$). Найдем длину одной из них, например, $m_a$:

$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$

$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 6^2 + 2 \cdot 5^2 - 5^2}$

$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 36 + 25}$

$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{72 + 25}$

$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{97} = \frac{\sqrt{97}}{2}$ м.

Следовательно, $m_c$ также равна $\frac{\sqrt{97}}{2}$ м.

Ответ: длины медиан треугольника равны 4 м, $\frac{\sqrt{97}}{2}$ м и $\frac{\sqrt{97}}{2}$ м.

3.54. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$. Докажите, что выполняется равенство $AB : AC = BD : CD$.

Данное утверждение известно как свойство биссектрисы треугольника. Для его доказательства используем метод дополнительного построения.

Доказательство:

Проведём через вершину $C$ прямую, параллельную биссектрисе $AD$, до её пересечения с продолжением стороны $AB$ в точке $E$. Таким образом, $CE \parallel AD$.

Рассмотрим параллельные прямые $AD$ и $CE$. При пересечении их секущей $AC$ внутренние накрест лежащие углы равны: $\angle DAC = \angle ACE$ (на рисунке углы 2 и 3). При пересечении их секущей $BE$ соответственные углы равны: $\angle BAD = \angle AEC$ (на рисунке углы 1 и 4).

По условию, $AD$ является биссектрисой угла $\angle BAC$, поэтому $\angle BAD = \angle DAC$. Из этого и предыдущих равенств следует, что $\angle ACE = \angle AEC$.

Поскольку в треугольнике $ACE$ углы при основании $CE$ равны, то он является равнобедренным, а значит, его боковые стороны равны: $AC = AE$.

Теперь рассмотрим угол $EBC$, стороны которого пересечены параллельными прямыми $AD$ и $CE$. По теореме о пропорциональных отрезках (обобщенной теореме Фалеса), выполняется соотношение: $\frac{AB}{AE} = \frac{BD}{DC}$.

Так как мы доказали, что $AE = AC$, мы можем произвести замену в полученной пропорции: $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$.

Это равенство можно переписать в виде $AB : AC = BD : CD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AB : AC = BD : CD$ доказано.

3.55. Определите биссектрисы треугольника, стороны которого равны $a, b, c$.

Для определения длин биссектрис треугольника со сторонами $a, b, c$ выведем общую формулу для одной из биссектрис, а затем по аналогии запишем формулы для двух других.

Рассмотрим треугольник $ABC$ со сторонами $BC = a$, $AC = b$ и $AB = c$. Пусть $l_a$ — это длина биссектрисы, проведенной из вершины $A$ к стороне $BC$. Обозначим точку пересечения биссектрисы со стороной $BC$ как $D$.

1. Используем свойство биссектрисы.

По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b}$

Пусть $BD = m$ и $DC = n$. Тогда $m+n=a$. Из пропорции имеем $mb = nc$. Подставим $n=a-m$:

$mb = c(a-m) \implies mb = ac - mc \implies m(b+c) = ac \implies m = \frac{ac}{b+c}$

Аналогично, $n = a - m = a - \frac{ac}{b+c} = \frac{ab+ac-ac}{b+c} = \frac{ab}{b+c}$.

2. Применяем теорему косинусов.

Применим теорему косинусов для треугольника $ABC$, чтобы выразить косинус угла $C$:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \implies \cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

Теперь применим теорему косинусов для треугольника $ADC$:

$l_a^2 = AD^2 = AC^2 + DC^2 - 2 \cdot AC \cdot DC \cdot \cos(C)$

$l_a^2 = b^2 + n^2 - 2bn \cos(C)$

Подставим в это уравнение выражения для $n$ и $\cos(C)$:

$l_a^2 = b^2 + \left(\frac{ab}{b+c}\right)^2 - 2b\left(\frac{ab}{b+c}\right)\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)$

Упростим выражение:

$l_a^2 = b^2 + \frac{a^2b^2}{(b+c)^2} - \frac{b(a^2+b^2-c^2)}{b+c}$

Приведем к общему знаменателю $(b+c)^2$:

$l_a^2 = \frac{b^2(b+c)^2 + a^2b^2 - b(b+c)(a^2+b^2-c^2)}{(b+c)^2}$

$l_a^2 = \frac{b^2(b^2+2bc+c^2) + a^2b^2 - (b^2+bc)(a^2+b^2-c^2)}{(b+c)^2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$l_a^2 = \frac{(b^4+2b^3c+b^2c^2) + a^2b^2 - (b^2a^2+b^4-b^2c^2+bca^2+b^3c-bc^3)}{(b+c)^2}$

$l_a^2 = \frac{b^4+2b^3c+b^2c^2+a^2b^2-b^2a^2-b^4+b^2c^2-bca^2-b^3c+bc^3}{(b+c)^2}$

$l_a^2 = \frac{b^3c+2b^2c^2-bca^2+bc^3}{(b+c)^2} = \frac{bc(b^2+2bc+c^2-a^2)}{(b+c)^2}$

$l_a^2 = \frac{bc((b+c)^2-a^2)}{(b+c)^2}$

Используя формулу разности квадратов $(x^2-y^2)=(x-y)(x+y)$, получаем:

$l_a^2 = \frac{bc(b+c-a)(b+c+a)}{(b+c)^2}$

3. Выражаем через полупериметр.

Введем полупериметр треугольника $p = \frac{a+b+c}{2}$. Тогда $a+b+c = 2p$ и $b+c-a = (a+b+c) - 2a = 2p - 2a = 2(p-a)$.

Подставим эти выражения в формулу для $l_a^2$:

$l_a^2 = \frac{bc \cdot 2(p-a) \cdot 2p}{(b+c)^2} = \frac{4bcp(p-a)}{(b+c)^2}$

Извлекая квадратный корень, находим длину биссектрисы $l_a$:

$l_a = \sqrt{\frac{4bcp(p-a)}{(b+c)^2}} = \frac{2}{b+c}\sqrt{bcp(p-a)}$

Эта формула определяет длину биссектрисы, проведенной к стороне $a$. Длины двух других биссектрис, $l_b$ (к стороне $b$) и $l_c$ (к стороне $c$), могут быть найдены по аналогии, циклически переставляя стороны $a, b, c$.

Длина биссектрисы $l_b$, проведенной к стороне $b$:

$l_b = \frac{2}{a+c}\sqrt{acp(p-b)}$

Длина биссектрисы $l_c$, проведенной к стороне $c$:

$l_c = \frac{2}{a+b}\sqrt{abp(p-c)}$

Ответ: Длины биссектрис треугольника со сторонами $a, b, c$ определяются следующими формулами, где $p = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр треугольника:

Биссектриса к стороне $a$: $l_a = \frac{2}{b+c}\sqrt{bcp(p-a)}$

Биссектриса к стороне $b$: $l_b = \frac{2}{a+c}\sqrt{acp(p-b)}$

Биссектриса к стороне $c$: $l_c = \frac{2}{a+b}\sqrt{abp(p-c)}$

3.56. Найдите третью сторону остроугольного треугольника, если медианы, опущенные к сторонам $a$ и $b$, взаимно перпендикулярны.

Пусть дан остроугольный треугольник $ABC$ со сторонами $BC = a$, $AC = b$ и $AB = c$. Медиана, опущенная к стороне $a$, — это отрезок $m_a = AA'$, где $A'$ — середина стороны $BC$. Медиана, опущенная к стороне $b$, — это отрезок $m_b = BB'$, где $B'$ — середина стороны $AC$. Медианы пересекаются в точке $M$, которая является центроидом треугольника.

По условию задачи медианы $AA'$ и $BB'$ взаимно перпендикулярны. Это означает, что угол между ними в точке пересечения $M$ равен $90^\circ$, то есть $\angle AMB = 90^\circ$.

Известно свойство медиан: они пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, мы имеем следующие соотношения для отрезков медиан:

$AM = \frac{2}{3} m_a$

$BM = \frac{2}{3} m_b$

Рассмотрим треугольник $AMB$. Поскольку $\angle AMB = 90^\circ$, этот треугольник является прямоугольным. Применим к нему теорему Пифагора:

$AM^2 + BM^2 = AB^2$

Подставим в это равенство выражения для длин отрезков $AM$ и $BM$ через длины медиан $m_a$ и $m_b$, а также заменим $AB$ на $c$:

$\left(\frac{2}{3} m_a\right)^2 + \left(\frac{2}{3} m_b\right)^2 = c^2$

$\frac{4}{9} m_a^2 + \frac{4}{9} m_b^2 = c^2$

Умножим обе части уравнения на 9, чтобы избавиться от знаменателя:

$4(m_a^2 + m_b^2) = 9c^2$

Теперь воспользуемся универсальными формулами для квадратов длин медиан треугольника, выраженными через квадраты длин его сторон:

$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$

$m_b^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}$

Подставим эти выражения в полученное ранее уравнение $4(m_a^2 + m_b^2) = 9c^2$:

$4 \left( \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} + \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4} \right) = 9c^2$

Сократим множитель 4 в левой части уравнения:

$(2b^2 + 2c^2 - a^2) + (2a^2 + 2c^2 - b^2) = 9c^2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(2b^2 - b^2) + (2a^2 - a^2) + (2c^2 + 2c^2) = 9c^2$

$b^2 + a^2 + 4c^2 = 9c^2$

Перенесем $4c^2$ в правую часть:

$a^2 + b^2 = 9c^2 - 4c^2$

$a^2 + b^2 = 5c^2$

Из этого соотношения выразим искомую сторону $c$:

$c^2 = \frac{a^2 + b^2}{5}$

$c = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{5}}$

Условие, что треугольник остроугольный, гарантирует, что такой треугольник может существовать при определенных соотношениях между $a$ и $b$, но не меняет саму формулу для нахождения стороны $c$.

Ответ: $c = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{5}}$