Номер 3.55, страница 117 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.55. Определите биссектрисы треугольника, стороны которого равны $a, b, c$.

Для определения длин биссектрис треугольника со сторонами $a, b, c$ выведем общую формулу для одной из биссектрис, а затем по аналогии запишем формулы для двух других.

Рассмотрим треугольник $ABC$ со сторонами $BC = a$, $AC = b$ и $AB = c$. Пусть $l_a$ — это длина биссектрисы, проведенной из вершины $A$ к стороне $BC$. Обозначим точку пересечения биссектрисы со стороной $BC$ как $D$.

1. Используем свойство биссектрисы.

По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b}$

Пусть $BD = m$ и $DC = n$. Тогда $m+n=a$. Из пропорции имеем $mb = nc$. Подставим $n=a-m$:

$mb = c(a-m) \implies mb = ac - mc \implies m(b+c) = ac \implies m = \frac{ac}{b+c}$

Аналогично, $n = a - m = a - \frac{ac}{b+c} = \frac{ab+ac-ac}{b+c} = \frac{ab}{b+c}$.

2. Применяем теорему косинусов.

Применим теорему косинусов для треугольника $ABC$, чтобы выразить косинус угла $C$:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \implies \cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

Теперь применим теорему косинусов для треугольника $ADC$:

$l_a^2 = AD^2 = AC^2 + DC^2 - 2 \cdot AC \cdot DC \cdot \cos(C)$

$l_a^2 = b^2 + n^2 - 2bn \cos(C)$

Подставим в это уравнение выражения для $n$ и $\cos(C)$:

$l_a^2 = b^2 + \left(\frac{ab}{b+c}\right)^2 - 2b\left(\frac{ab}{b+c}\right)\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)$

Упростим выражение:

$l_a^2 = b^2 + \frac{a^2b^2}{(b+c)^2} - \frac{b(a^2+b^2-c^2)}{b+c}$

Приведем к общему знаменателю $(b+c)^2$:

$l_a^2 = \frac{b^2(b+c)^2 + a^2b^2 - b(b+c)(a^2+b^2-c^2)}{(b+c)^2}$

$l_a^2 = \frac{b^2(b^2+2bc+c^2) + a^2b^2 - (b^2+bc)(a^2+b^2-c^2)}{(b+c)^2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$l_a^2 = \frac{(b^4+2b^3c+b^2c^2) + a^2b^2 - (b^2a^2+b^4-b^2c^2+bca^2+b^3c-bc^3)}{(b+c)^2}$

$l_a^2 = \frac{b^4+2b^3c+b^2c^2+a^2b^2-b^2a^2-b^4+b^2c^2-bca^2-b^3c+bc^3}{(b+c)^2}$

$l_a^2 = \frac{b^3c+2b^2c^2-bca^2+bc^3}{(b+c)^2} = \frac{bc(b^2+2bc+c^2-a^2)}{(b+c)^2}$

$l_a^2 = \frac{bc((b+c)^2-a^2)}{(b+c)^2}$

Используя формулу разности квадратов $(x^2-y^2)=(x-y)(x+y)$, получаем:

$l_a^2 = \frac{bc(b+c-a)(b+c+a)}{(b+c)^2}$

3. Выражаем через полупериметр.

Введем полупериметр треугольника $p = \frac{a+b+c}{2}$. Тогда $a+b+c = 2p$ и $b+c-a = (a+b+c) - 2a = 2p - 2a = 2(p-a)$.

Подставим эти выражения в формулу для $l_a^2$:

$l_a^2 = \frac{bc \cdot 2(p-a) \cdot 2p}{(b+c)^2} = \frac{4bcp(p-a)}{(b+c)^2}$

Извлекая квадратный корень, находим длину биссектрисы $l_a$:

$l_a = \sqrt{\frac{4bcp(p-a)}{(b+c)^2}} = \frac{2}{b+c}\sqrt{bcp(p-a)}$

Эта формула определяет длину биссектрисы, проведенной к стороне $a$. Длины двух других биссектрис, $l_b$ (к стороне $b$) и $l_c$ (к стороне $c$), могут быть найдены по аналогии, циклически переставляя стороны $a, b, c$.

Длина биссектрисы $l_b$, проведенной к стороне $b$:

$l_b = \frac{2}{a+c}\sqrt{acp(p-b)}$

Длина биссектрисы $l_c$, проведенной к стороне $c$:

$l_c = \frac{2}{a+b}\sqrt{abp(p-c)}$

Ответ: Длины биссектрис треугольника со сторонами $a, b, c$ определяются следующими формулами, где $p = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр треугольника:

Биссектриса к стороне $a$: $l_a = \frac{2}{b+c}\sqrt{bcp(p-a)}$

Биссектриса к стороне $b$: $l_b = \frac{2}{a+c}\sqrt{acp(p-b)}$

Биссектриса к стороне $c$: $l_c = \frac{2}{a+b}\sqrt{abp(p-c)}$