Номер 3.34, страница 115 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.34. Стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а острый угол равен $\alpha$. Найдите диагонали параллелограмма, если:

1) $a=3$ м, $b=2$ м, $\alpha=30^\circ$;

2) $a=0,8$ м, $b=0,5$ м, $\alpha=45^\circ$;

3) $a=\frac{3}{4}$ м, $b=\frac{5}{4}$ м, $\alpha=60^\circ$.

Для нахождения диагоналей параллелограмма воспользуемся теоремой косинусов. Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а острый угол между ними равен $\alpha$. Тогда тупой угол будет равен $180^\circ - \alpha$.

Диагональ $d_1$, лежащая напротив острого угла $\alpha$, может быть найдена как третья сторона треугольника со сторонами $a$, $b$ и углом $\alpha$ между ними. По теореме косинусов:

$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$

$d_1 = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)}$

Диагональ $d_2$, лежащая напротив тупого угла $180^\circ - \alpha$, находится аналогично:

$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(180^\circ - \alpha)$

Так как $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$, формула для второй диагонали принимает вид:

$d_2^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha)$

$d_2 = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha)}$

Теперь применим эти формулы для каждого из случаев.

1) Дано: $a=3$ м, $b=2$ м, $\alpha=30^\circ$.

Значение косинуса: $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Находим меньшую диагональ $d_1$:

$d_1^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos(30^\circ) = 9 + 4 - 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 13 - 6\sqrt{3}$.

$d_1 = \sqrt{13 - 6\sqrt{3}}$ м.

Находим большую диагональ $d_2$:

$d_2^2 = 3^2 + 2^2 + 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos(30^\circ) = 9 + 4 + 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 13 + 6\sqrt{3}$.

$d_2 = \sqrt{13 + 6\sqrt{3}}$ м.

Ответ: $\sqrt{13 - 6\sqrt{3}}$ м и $\sqrt{13 + 6\sqrt{3}}$ м.

2) Дано: $a=0,8$ м, $b=0,5$ м, $\alpha=45^\circ$.

Значение косинуса: $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Находим меньшую диагональ $d_1$:

$d_1^2 = (0,8)^2 + (0,5)^2 - 2 \cdot 0,8 \cdot 0,5 \cdot \cos(45^\circ) = 0,64 + 0,25 - 0,8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 0,89 - 0,4\sqrt{2}$.

$d_1 = \sqrt{0,89 - 0,4\sqrt{2}}$ м.

Находим большую диагональ $d_2$:

$d_2^2 = (0,8)^2 + (0,5)^2 + 2 \cdot 0,8 \cdot 0,5 \cdot \cos(45^\circ) = 0,64 + 0,25 + 0,8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 0,89 + 0,4\sqrt{2}$.

$d_2 = \sqrt{0,89 + 0,4\sqrt{2}}$ м.

Ответ: $\sqrt{0,89 - 0,4\sqrt{2}}$ м и $\sqrt{0,89 + 0,4\sqrt{2}}$ м.

3) Дано: $a=\frac{3}{4}$ м, $b=\frac{5}{4}$ м, $\alpha=60^\circ$.

Значение косинуса: $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

Находим меньшую диагональ $d_1$:

$d_1^2 = (\frac{3}{4})^2 + (\frac{5}{4})^2 - 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot \cos(60^\circ) = \frac{9}{16} + \frac{25}{16} - 2 \cdot \frac{15}{16} \cdot \frac{1}{2} = \frac{34}{16} - \frac{15}{16} = \frac{19}{16}$.

$d_1 = \sqrt{\frac{19}{16}} = \frac{\sqrt{19}}{4}$ м.

Находим большую диагональ $d_2$:

$d_2^2 = (\frac{3}{4})^2 + (\frac{5}{4})^2 + 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot \cos(60^\circ) = \frac{9}{16} + \frac{25}{16} + 2 \cdot \frac{15}{16} \cdot \frac{1}{2} = \frac{34}{16} + \frac{15}{16} = \frac{49}{16}$.

$d_2 = \sqrt{\frac{49}{16}} = \frac{7}{4}$ м.

Ответ: $\frac{\sqrt{19}}{4}$ м и $\frac{7}{4}$ м.