Номер 3.68, страница 122 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.68. В треугольнике ABC проведена высота CD, равная 5 м. Найдите стороны треугольника, если $ \angle A=45^\circ, \angle B=30^\circ $.

Поскольку $CD$ — это высота, проведенная к стороне $AB$, то она образует с этой стороной прямые углы. Таким образом, треугольник $ABC$ разделяется высотой $CD$ на два прямоугольных треугольника: $\triangle ADC$ и $\triangle BDC$.

Сначала рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$. В нем известен катет $CD = 5$ м и прилежащий к нему угол $\angle A = 45^\circ$. Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$, поэтому $\angle ACD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Так как углы при гипотенузе $AC$ равны, треугольник $\triangle ADC$ является равнобедренным, следовательно, катет $AD$ равен катету $CD$: $AD = 5$ м.
Гипотенузу $AC$ найдем из соотношения для синуса угла $A$:
$AC = \frac{CD}{\sin A} = \frac{5}{\sin 45^\circ} = \frac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$ м.

Далее рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BDC$. В нем известен катет $CD = 5$ м и противолежащий ему угол $\angle B = 30^\circ$.
Гипотенузу $BC$ найдем через синус угла $B$:
$BC = \frac{CD}{\sin B} = \frac{5}{\sin 30^\circ} = \frac{5}{\frac{1}{2}} = 10$ м.
Катет $BD$ найдем через тангенс угла $B$:
$BD = \frac{CD}{\tan B} = \frac{5}{\tan 30^\circ} = \frac{5}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 5\sqrt{3}$ м.

Сторона $AB$ исходного треугольника равна сумме длин отрезков $AD$ и $BD$, так как углы $A$ и $B$ являются острыми, и, следовательно, основание высоты $D$ лежит между точками $A$ и $B$.
$AB = AD + BD = 5 + 5\sqrt{3} = 5(1 + \sqrt{3})$ м.

Ответ: $AC = 5\sqrt{2}$ м, $BC = 10$ м, $AB = 5(1 + \sqrt{3})$ м.