Номер 3.72, страница 122 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.72. Найдите третью сторону треугольника, если две стороны его равны $m$ и $n$, а площадь равна $0,3mn$.

Пусть две известные стороны треугольника равны $a=m$ и $b=n$, а угол между ними равен $\alpha$. Третью сторону обозначим как $c$.

Площадь треугольника $S$ может быть вычислена по формуле, использующей две стороны и синус угла между ними:$S = \frac{1}{2}ab\sin(\alpha) = \frac{1}{2}mn\sin(\alpha)$.

По условию задачи, площадь равна $S = 0.3mn$. Приравняем два выражения для площади:$ \frac{1}{2}mn\sin(\alpha) = 0.3mn $

Разделив обе части уравнения на $mn$ (так как длины сторон не могут быть нулевыми) и умножив на 2, получим значение синуса угла $\alpha$:$ \sin(\alpha) = 2 \cdot 0.3 = 0.6 $

Для нахождения третьей стороны $c$ воспользуемся теоремой косинусов:$ c^2 = m^2 + n^2 - 2mn\cos(\alpha) $

Чтобы применить эту теорему, нам нужно найти $\cos(\alpha)$. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$:$ \cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - (0.6)^2 = 1 - 0.36 = 0.64 $

Из этого следует, что $\cos(\alpha)$ может иметь два значения:$ \cos(\alpha) = \sqrt{0.64} = 0.8 $ или $ \cos(\alpha) = -\sqrt{0.64} = -0.8 $.

Поскольку угол в треугольнике может быть как острым (косинус положительный), так и тупым (косинус отрицательный), мы должны рассмотреть оба случая.

Случай 1: Угол $\alpha$ — острый, $\cos(\alpha) = 0.8$.Подставим это значение в формулу теоремы косинусов:$ c^2 = m^2 + n^2 - 2mn(0.8) = m^2 + n^2 - 1.6mn $Тогда третья сторона равна:$ c_1 = \sqrt{m^2 + n^2 - 1.6mn} $

Случай 2: Угол $\alpha$ — тупой, $\cos(\alpha) = -0.8$.Подставим это значение в формулу теоремы косинусов:$ c^2 = m^2 + n^2 - 2mn(-0.8) = m^2 + n^2 + 1.6mn $Тогда третья сторона равна:$ c_2 = \sqrt{m^2 + n^2 + 1.6mn} $

Таким образом, задача имеет два возможных решения в зависимости от того, является ли угол между данными сторонами острым или тупым.

Ответ: Третья сторона треугольника может быть равна $\sqrt{m^2 + n^2 - 1.6mn}$ или $\sqrt{m^2 + n^2 + 1.6mn}$.