Номер 3.77, страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.77. В равнобедренном треугольнике даны основание $a$ и угол при основании $\alpha$. Найдите медиану, опущенную к боковой стороне.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC = a$ и углами при основании $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$. Боковые стороны треугольника равны: $AB = BC$.

Проведем медиану $AM$ к боковой стороне $BC$. Требуется найти длину медианы $AM$, которую обозначим как $m_b$.

Решение

1. Сначала найдем длину боковой стороны $b = BC$. Для этого проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой, поэтому $HC = \frac{AC}{2} = \frac{a}{2}$. Из прямоугольного треугольника $BHC$ имеем:

$ \cos(\alpha) = \frac{HC}{BC} = \frac{a/2}{BC} $

Отсюда выразим длину боковой стороны $BC$:

$ BC = b = \frac{a}{2 \cos\alpha} $

2. Теперь рассмотрим треугольник $AMC$. В нем известны две стороны и угол между ними:

• Сторона $AC = a$.
• Сторона $MC$ равна половине боковой стороны $BC$, так как $AM$ — медиана: $MC = \frac{BC}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2 \cos\alpha} = \frac{a}{4 \cos\alpha}$.
• Угол между этими сторонами $\angle MCA = \alpha$.

3. Применим теорему косинусов для нахождения стороны $AM$ (медианы $m_b$):

$ m_b^2 = AM^2 = AC^2 + MC^2 - 2 \cdot AC \cdot MC \cdot \cos(\angle MCA) $

Подставим известные значения:

$ AM^2 = a^2 + \left(\frac{a}{4 \cos\alpha}\right)^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{a}{4 \cos\alpha} \cdot \cos\alpha $

Упростим выражение:

$ AM^2 = a^2 + \frac{a^2}{16 \cos^2\alpha} - \frac{2a^2 \cos\alpha}{4 \cos\alpha} $

$ AM^2 = a^2 + \frac{a^2}{16 \cos^2\alpha} - \frac{a^2}{2} $

$ AM^2 = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{16 \cos^2\alpha} $

Приведем к общему знаменателю:

$ AM^2 = \frac{8a^2 \cos^2\alpha}{16 \cos^2\alpha} + \frac{a^2}{16 \cos^2\alpha} = \frac{8a^2 \cos^2\alpha + a^2}{16 \cos^2\alpha} = \frac{a^2(1 + 8\cos^2\alpha)}{16 \cos^2\alpha} $

4. Извлечем квадратный корень, чтобы найти длину медианы $AM$:

$ AM = \sqrt{\frac{a^2(1 + 8\cos^2\alpha)}{16 \cos^2\alpha}} = \frac{a \sqrt{1 + 8\cos^2\alpha}}{4 \cos\alpha} $

Ответ: $ \frac{a}{4 \cos\alpha} \sqrt{1 + 8\cos^2\alpha} $