Номер 3.26, страница 112 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.26. Отрезки $A_1A_2=d_1$, $A_2A_3=d_2$ и точки $A_1, A_2, A_3$ лежат на одной прямой. Из точки K эти отрезки видны под углом $\phi$. Найдите длины отрезков $A_1K, A_2K, A_3K$.

Пусть искомые длины отрезков равны $A_1K = x$, $A_2K = y$, $A_3K = z$.По условию, точки $A_1$, $A_2$, $A_3$ лежат на одной прямой. Будем считать, что точка $A_2$ лежит между $A_1$ и $A_3$. Также дано, что отрезки $A_1A_2$ и $A_2A_3$ видны из точки $K$ под одним и тем же углом $\phi$. Это означает, что $\angle A_1KA_2 = \angle A_2KA_3 = \phi$.

Рассмотрим треугольник $\triangle A_1KA_3$. Отрезок $KA_2$ является чевианой. Поскольку $\angle A_1KA_2 = \angle A_2KA_3 = \phi$, $KA_2$ является биссектрисой угла $\angle A_1KA_3$.

По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:$$ \frac{A_1K}{A_3K} = \frac{A_1A_2}{A_2A_3} $$Подставляя наши обозначения, получаем:$$ \frac{x}{z} = \frac{d_1}{d_2} \implies x = z \frac{d_1}{d_2} $$Это соотношение связывает длины отрезков $A_1K$ и $A_3K$.

Теперь снова рассмотрим $\triangle A_1KA_3$. Длина стороны $A_1A_3 = A_1A_2 + A_2A_3 = d_1 + d_2$. Угол $\angle A_1KA_3 = \angle A_1KA_2 + \angle A_2KA_3 = \phi + \phi = 2\phi$. Применим к этому треугольнику теорему косинусов:$$ A_1A_3^2 = A_1K^2 + A_3K^2 - 2(A_1K)(A_3K)\cos(\angle A_1KA_3) $$$$ (d_1+d_2)^2 = x^2 + z^2 - 2xz\cos(2\phi) $$Подставим в это уравнение выражение для $x$ через $z$:$$ (d_1+d_2)^2 = \left(z \frac{d_1}{d_2}\right)^2 + z^2 - 2\left(z \frac{d_1}{d_2}\right)z\cos(2\phi) $$$$ (d_1+d_2)^2 = z^2 \frac{d_1^2}{d_2^2} + z^2 - 2z^2 \frac{d_1}{d_2}\cos(2\phi) $$Вынесем $z^2$ за скобки:$$ (d_1+d_2)^2 = z^2 \left( \frac{d_1^2}{d_2^2} + 1 - \frac{2d_1}{d_2}\cos(2\phi) \right) $$Приведем выражение в скобках к общему знаменателю $d_2^2$:$$ (d_1+d_2)^2 = z^2 \frac{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)}{d_2^2} $$Отсюда выразим $z^2$:$$ z^2 = \frac{d_2^2(d_1+d_2)^2}{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)} $$Извлекая квадратный корень, находим длину $A_3K = z$:$$ z = \frac{d_2(d_1+d_2)}{\sqrt{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)}} $$Теперь легко найти $A_1K = x$, используя соотношение $x = z \frac{d_1}{d_2}$:$$ x = \frac{d_1}{d_2} \cdot \frac{d_2(d_1+d_2)}{\sqrt{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)}} = \frac{d_1(d_1+d_2)}{\sqrt{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)}} $$

Для нахождения длины $A_2K = y$ применим теорему Стюарта для $\triangle A_1KA_3$ и чевианы $KA_2$. Формула теоремы Стюарта: $b^2m + c^2n = a(d^2+mn)$, где $a$ - длина основания, $m, n$ - отрезки основания, $b, c$ - боковые стороны, $d$ - длина чевианы. В нашем случае:$$ A_1K^2 \cdot A_2A_3 + A_3K^2 \cdot A_1A_2 = A_1A_3 (A_2K^2 + A_1A_2 \cdot A_2A_3) $$$$ x^2 d_2 + z^2 d_1 = (d_1+d_2)(y^2 + d_1d_2) $$Выразим $y^2$:$$ y^2 = \frac{x^2 d_2 + z^2 d_1}{d_1+d_2} - d_1d_2 $$Подставим найденные ранее выражения для $x^2$ и $z^2$:$$ x^2 d_2 = \frac{d_1^2(d_1+d_2)^2 d_2}{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)} $$$$ z^2 d_1 = \frac{d_2^2(d_1+d_2)^2 d_1}{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)} $$Сумма $x^2 d_2 + z^2 d_1$:$$ x^2 d_2 + z^2 d_1 = \frac{d_1^2d_2(d_1+d_2)^2 + d_1d_2^2(d_1+d_2)^2}{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)} = \frac{d_1d_2(d_1+d_2)(d_1+d_2)^2}{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)} = \frac{d_1d_2(d_1+d_2)^3}{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)} $$Теперь разделим на $(d_1+d_2)$:$$ \frac{x^2 d_2 + z^2 d_1}{d_1+d_2} = \frac{d_1d_2(d_1+d_2)^2}{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)} $$Подставим это в формулу для $y^2$:$$ y^2 = \frac{d_1d_2(d_1+d_2)^2}{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)} - d_1d_2 = d_1d_2 \left( \frac{(d_1+d_2)^2}{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)} - 1 \right) $$$$ y^2 = d_1d_2 \left( \frac{(d_1^2+2d_1d_2+d_2^2) - (d_1^2+d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi))}{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)} \right) $$$$ y^2 = d_1d_2 \frac{2d_1d_2 + 2d_1d_2\cos(2\phi)}{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)} = \frac{2d_1^2d_2^2(1+\cos(2\phi))}{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)} $$Используя тригонометрическую формулу $1+\cos(2\phi) = 2\cos^2(\phi)$:$$ y^2 = \frac{2d_1^2d_2^2(2\cos^2\phi)}{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)} = \frac{4d_1^2d_2^2\cos^2\phi}{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)} $$Извлекая корень, получаем $y$. Угол $\phi$ должен быть острым, иначе геометрическая конфигурация невозможна, поэтому $\cos\phi > 0$.$$ y = \frac{2d_1d_2\cos\phi}{\sqrt{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)}} $$

Ответ:
Длина отрезка $A_1K$ равна $ \frac{d_1(d_1+d_2)}{\sqrt{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)}} $.
Длина отрезка $A_2K$ равна $ \frac{2d_1d_2\cos\phi}{\sqrt{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)}} $.
Длина отрезка $A_3K$ равна $ \frac{d_2(d_1+d_2)}{\sqrt{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)}} $.