Номер 3.20, страница 111 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.20. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 5 м, 6 м и 7 м.

Для того чтобы найти радиус $R$ окружности, описанной около треугольника, можно использовать формулу, связывающую радиус с длинами сторон треугольника и его площадью: $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — это стороны треугольника, а $S$ — его площадь.

В нашей задаче даны стороны треугольника: $a = 5$ м, $b = 6$ м, $c = 7$ м.

Чтобы воспользоваться формулой для радиуса, нам сначала нужно найти площадь треугольника. Поскольку известны все три стороны, удобнее всего использовать формулу Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — это полупериметр треугольника.

1. Вычислим полупериметр $p$.

Полупериметр — это половина суммы длин всех сторон: $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{5+6+7}{2} = \frac{18}{2} = 9$ м.

2. Вычислим площадь треугольника $S$.

Подставим значения в формулу Герона: $S = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216}$.

Упростим полученное значение: $S = \sqrt{216} = \sqrt{36 \cdot 6} = 6\sqrt{6}$ м².

3. Вычислим радиус описанной окружности $R$.

Теперь, зная стороны и площадь, подставим все значения в формулу для радиуса: $R = \frac{abc}{4S} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7}{4 \cdot 6\sqrt{6}} = \frac{210}{24\sqrt{6}}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 6: $R = \frac{35}{4\sqrt{6}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$: $R = \frac{35 \cdot \sqrt{6}}{4\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{35\sqrt{6}}{4 \cdot 6} = \frac{35\sqrt{6}}{24}$ м.

Ответ: $\frac{35\sqrt{6}}{24}$ м.