Номер 2.111, страница 99 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.111. Отрезок BD является биссектрисой треугольника ABC. Найдите AB, если известно, что:

1) $AC=30$, $AD=20$, $BD=16$ и $\angle BDC=\angle C$;

2) $BC=9$, $AD=7,5$, $DC=4,5$.

Для решения задачи воспользуемся свойством биссектрисы треугольника, которое гласит, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для треугольника $ABC$ и биссектрисы $BD$ это свойство выражается формулой: $\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC}$.

1) Дано: $AC=30$, $AD=20$, $BD=16$ и $\angle BDC = \angle C$.

Сначала найдем длину отрезка $DC$. Точка $D$ лежит на стороне $AC$, поэтому $AC = AD + DC$.
$DC = AC - AD = 30 - 20 = 10$.

По условию $\angle BDC = \angle C$. В треугольнике $BDC$ углы при основании $CD$ равны, следовательно, треугольник $BDC$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Значит, $BC = BD$.

Так как $BD = 16$, то и $BC = 16$.

Теперь применим свойство биссектрисы для треугольника $ABC$:
$\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC}$

Подставим известные значения в формулу:
$\frac{AB}{16} = \frac{20}{10}$

$\frac{AB}{16} = 2$

$AB = 16 \times 2 = 32$.

Ответ: 32.

2) Дано: $BC=9$, $AD=7,5$, $DC=4,5$.

Используем свойство биссектрисы треугольника $ABC$:
$\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC}$

Подставим известные значения в пропорцию:
$\frac{AB}{9} = \frac{7,5}{4,5}$

Упростим соотношение в правой части, умножив числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$\frac{7,5}{4,5} = \frac{75}{45}$

Сократим полученную дробь на 15:
$\frac{75 \div 15}{45 \div 15} = \frac{5}{3}$

Теперь решим уравнение:
$\frac{AB}{9} = \frac{5}{3}$

$AB = 9 \times \frac{5}{3} = 3 \times 5 = 15$.

Ответ: 15.