Номер 2.101, страница 98 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.101. Подобны ли треугольники $ABC$ и $DEF$, если в этих треугольниках:

1) $\angle A=36^\circ$, $\angle B=34^\circ$, $\angle E=110^\circ$, $\angle F=34^\circ$;

2) $AC=44$ см, $AB=52$ см, $BC=76$ см, $DE=15,6$ см, $DF=22$ см, $EF=13,2$ см?

1) Для того чтобы определить, подобны ли треугольники $ABC$ и $DEF$, воспользуемся признаком подобия треугольников по двум углам. Согласно этому признаку, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Сначала найдем величину третьего угла в каждом треугольнике, зная, что сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$.

Для треугольника $ABC$ известны углы $\angle A = 36^\circ$ и $\angle B = 34^\circ$. Найдем угол $C$:
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (36^\circ + 34^\circ) = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.
Таким образом, углы треугольника $ABC$ равны $36^\circ, 34^\circ, 110^\circ$.

Для треугольника $DEF$ известны углы $\angle E = 110^\circ$ и $\angle F = 34^\circ$. Найдем угол $D$:
$\angle D = 180^\circ - (\angle E + \angle F) = 180^\circ - (110^\circ + 34^\circ) = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ$.
Таким образом, углы треугольника $DEF$ равны $36^\circ, 110^\circ, 34^\circ$.

Теперь сравним наборы углов обоих треугольников:
Углы $\triangle ABC$: $\{36^\circ, 34^\circ, 110^\circ\}$
Углы $\triangle DEF$: $\{36^\circ, 34^\circ, 110^\circ\}$
Мы видим, что углы одного треугольника равны соответствующим углам другого: $\angle A = \angle D = 36^\circ$, $\angle B = \angle F = 34^\circ$ и $\angle C = \angle E = 110^\circ$.
Поскольку у треугольников есть по две (и даже три) пары равных углов, они подобны по первому признаку подобия.

Ответ: да, треугольники подобны.

2) Для определения подобия треугольников по известным длинам их сторон воспользуемся третьим признаком подобия: если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Чтобы проверить пропорциональность сторон, необходимо сопоставить стороны одного треугольника со сторонами другого. В подобных треугольниках наименьшая сторона одного треугольника соответствует наименьшей стороне другого, средняя - средней, а наибольшая - наибольшей. Расположим стороны каждого треугольника в порядке возрастания их длин.

Стороны треугольника $ABC$: $AC=44$ см, $AB=52$ см, $BC=76$ см.
В порядке возрастания: $44 < 52 < 76$.

Стороны треугольника $DEF$: $DE=15.6$ см, $DF=22$ см, $EF=13.2$ см.
В порядке возрастания: $13.2 < 15.6 < 22$.

Теперь проверим, равны ли отношения длин соответствующих сторон. Найдем коэффициент подобия $k$, разделив длины сторон $\triangle ABC$ на соответствующие длины сторон $\triangle DEF$.

Отношение наименьших сторон: $\frac{AC}{EF} = \frac{44}{13.2} = \frac{440}{132} = \frac{110 \times 4}{33 \times 4} = \frac{110}{33} = \frac{10 \times 11}{3 \times 11} = \frac{10}{3}$.

Отношение средних сторон: $\frac{AB}{DE} = \frac{52}{15.6} = \frac{520}{156} = \frac{130 \times 4}{39 \times 4} = \frac{130}{39} = \frac{10 \times 13}{3 \times 13} = \frac{10}{3}$.

Отношение наибольших сторон: $\frac{BC}{DF} = \frac{76}{22} = \frac{38 \times 2}{11 \times 2} = \frac{38}{11}$.

Сравним полученные отношения:
$\frac{10}{3} = \frac{10}{3}$, но $\frac{10}{3} \neq \frac{38}{11}$ (поскольку $10 \times 11 = 110$, а $3 \times 38 = 114$).
Так как не все три отношения равны, стороны треугольников не пропорциональны.

Ответ: нет, треугольники не подобны.