Страница 146 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.64. Одна из пересекающихся хорд точкой пересечения делится пополам, а другая – на отрезки 4 см и 16 см. Какова длина первой хорды?

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о пересекающихся хордах в окружности. Эта теорема гласит, что если две хорды пересекаются внутри окружности, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды.

Пусть в окружности пересекаются две хорды: $AB$ и $CD$ в точке $P$.

По условию задачи, первая хорда (назовем ее $AB$) делится точкой пересечения пополам. Это означает, что отрезки, на которые она делится, равны. Обозначим длину каждого из этих отрезков через $x$:

$AP = PB = x$

Вторая хорда ($CD$) делится точкой пересечения на отрезки длиной 4 см и 16 см:

$CP = 4$ см

$PD = 16$ см

Согласно теореме о пересекающихся хордах, мы можем записать следующее равенство:

$AP \cdot PB = CP \cdot PD$

Подставим известные значения в формулу:

$x \cdot x = 4 \cdot 16$

$x^2 = 64$

Теперь найдем значение $x$, извлекая квадратный корень из 64 (длина отрезка может быть только положительной):

$x = \sqrt{64} = 8$ см

Мы нашли длину половины первой хорды. Чтобы найти полную длину первой хорды ($AB$), нужно сложить длины ее отрезков $AP$ и $PB$, или, что то же самое, умножить $x$ на 2:

Длина $AB = AP + PB = x + x = 2x$

Длина $AB = 2 \cdot 8 = 16$ см

Ответ: 16 см.

4.65. В окружность диаметром 10 см вписан равнобедренный треугольник высотой, проведенной к основанию. Найдите основание треугольника, если высота равна 2 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$, вписанный в окружность. Пусть $AH$ — высота, проведенная к основанию $BC$. По условию, диаметр окружности $d = 10$ см, а высота $AH = h = 2$ см.

Радиус окружности $R$ равен половине диаметра: $R = d/2 = 10/2 = 5$ см.

Для равнобедренного треугольника, вписанного в окружность, высота, проведенная к основанию, лежит на диаметре этой окружности. Обозначим центр окружности буквой $O$. Центр $O$ лежит на прямой, содержащей высоту $AH$.

Рассмотрим расположение точек $A$, $H$ и $O$ на этом диаметре. Вершина $A$ лежит на окружности, поэтому расстояние от центра до вершины $A$ равно радиусу, то есть $AO = R = 5$ см. Высота треугольника $AH = h = 2$ см. Так как $AH < AO$ ($2 \text{ см} < 5 \text{ см}$), точка $H$ (основание высоты) находится между вершиной $A$ и центром окружности $O$. Это означает, что центр окружности находится вне треугольника, и треугольник является тупоугольным.

Найдем расстояние от центра окружности $O$ до основания $BC$, то есть длину отрезка $OH$. Точки $A$, $H$, $O$ лежат на одной прямой, причем $H$ находится между $A$ и $O$. Следовательно, $OH = AO - AH = R - h$.

$OH = 5 - 2 = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHC$. Угол $\angle OHC = 90^\circ$, так как высота $AH$ перпендикулярна основанию $BC$. В этом треугольнике гипотенуза $OC$ является радиусом окружности ($OC = R = 5$ см), катет $OH$ равен 3 см, а второй катет $HC$ равен половине основания $BC$.

По теореме Пифагора $OC^2 = OH^2 + HC^2$. Подставим известные значения:

$5^2 = 3^2 + HC^2$

$25 = 9 + HC^2$

$HC^2 = 25 - 9 = 16$

$HC = \sqrt{16} = 4$ см.

Основание треугольника $BC$ в два раза больше отрезка $HC$, так как в равнобедренном треугольнике высота к основанию является и медианой. Таким образом, $BC = 2 \times HC = 2 \times 4 = 8$ см.

Ответ: основание треугольника равно 8 см.

4.66. Найдите диаметр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 12 см и высотой 3 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC = 12$ см и высотой $BH = 3$ см, проведенной к основанию.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка: $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. По теореме Пифагора найдем длину боковой стороны $BC$:
$BC^2 = BH^2 + HC^2 = 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45$
$BC = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ см.

Для нахождения диаметра вписанной окружности сначала найдем ее радиус $r$. Радиус вписанной в треугольник окружности можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ - площадь треугольника, а $p$ - его полупериметр.

Площадь треугольника $ABC$ равна: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 3 = 18$ см$^2$.

Полупериметр треугольника $ABC$ равен: $p = \frac{AC + AB + BC}{2} = \frac{12 + 3\sqrt{5} + 3\sqrt{5}}{2} = \frac{12 + 6\sqrt{5}}{2} = 6 + 3\sqrt{5}$ см.

Теперь вычислим радиус вписанной окружности: $r = \frac{S}{p} = \frac{18}{6 + 3\sqrt{5}} = \frac{18}{3(2 + \sqrt{5})} = \frac{6}{2 + \sqrt{5}}$.

Чтобы упростить выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{5} - 2)$: $r = \frac{6}{\sqrt{5} + 2} \cdot \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} - 2} = \frac{6(\sqrt{5} - 2)}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \frac{6(\sqrt{5} - 2)}{5 - 4} = 6(\sqrt{5} - 2)$ см.

Диаметр окружности $d$ равен удвоенному радиусу: $d = 2r = 2 \cdot 6(\sqrt{5} - 2) = 12(\sqrt{5} - 2)$ см.

Ответ: $12(\sqrt{5} - 2)$ см.

4.67. Прямая, проведенная через точку пересечения медиан треугольника $ABC$ и параллельная стороне $AB$, пересекает стороны $AC$ и $BC$ в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно. Найдите отношения:

1) $A_1B_1 : AB$

2) $S_{A_1B_1C} : S_{ABB_1A_1}$

Пусть $M$ - точка пересечения медиан треугольника $ABC$ (центроид). Проведем медиану $CK$ из вершины $C$ к стороне $AB$. По свойству медиан, точка их пересечения делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Таким образом, $CM : MK = 2:1$.

Из этого отношения следует, что $\frac{CM}{CK} = \frac{CM}{CM+MK} = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$.

По условию, прямая $A_1B_1$ проходит через точку $M$ и параллельна стороне $AB$ ($A_1B_1 \parallel AB$).

1) $A_1B_1 : AB$

Рассмотрим треугольники $\triangle A_1B_1C$ и $\triangle ABC$.

Так как $A_1B_1 \parallel AB$, то $\triangle A_1B_1C \sim \triangle ABC$ по двум углам ($\angle C$ - общий, $\angle CA_1B_1 = \angle CAB$ как соответственные углы при параллельных прямых $A_1B_1$, $AB$ и секущей $AC$).

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответственных сторон равно коэффициенту подобия $k$: $k = \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{CA_1}{CA} = \frac{CB_1}{CB}$.

По обобщенной теореме Фалеса, так как параллельные прямые $A_1B_1$ и $AB$ пересекают стороны угла $C$, они отсекают на его сторонах и на любой прямой, пересекающей их (в данном случае на медиане $CK$), пропорциональные отрезки. Следовательно, $\frac{CA_1}{CA} = \frac{CM}{CK}$.

Объединяя полученные равенства, имеем: $\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{CA_1}{CA} = \frac{CM}{CK} = \frac{2}{3}$.

Таким образом, отношение $A_1B_1 : AB$ равно $2:3$.

Ответ: $2:3$.

2) $S_{A_1B_1C} : S_{ABB_1A_1}$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Мы уже установили, что $\triangle A_1B_1C \sim \triangle ABC$ с коэффициентом подобия $k = \frac{2}{3}$.

Следовательно, отношение их площадей равно: $\frac{S_{A_1B_1C}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$.

Отсюда $S_{A_1B_1C} = \frac{4}{9}S_{ABC}$.

Фигура $ABB_1A_1$ является трапецией (так как $A_1B_1 \parallel AB$). Ее площадь можно найти как разность площадей треугольников $ABC$ и $A_1B_1C$: $S_{ABB_1A_1} = S_{ABC} - S_{A_1B_1C} = S_{ABC} - \frac{4}{9}S_{ABC} = \left(1 - \frac{4}{9}\right)S_{ABC} = \frac{5}{9}S_{ABC}$.

Теперь найдем искомое отношение площадей: $\frac{S_{A_1B_1C}}{S_{ABB_1A_1}} = \frac{\frac{4}{9}S_{ABC}}{\frac{5}{9}S_{ABC}} = \frac{4}{5}$.

Таким образом, отношение $S_{A_1B_1C} : S_{ABB_1A_1}$ равно $4:5$.

Ответ: $4:5$.

4.68. Из точки $E$ к окружности проведены касательная $AE$ и секущая $BE$. Эта секущая пересекает окружность в точках $B$ и $C$. Найдите длину $AE$, если $BC=5$ см, $BE=4$ см, точка $B$ лежит между точками $C$ и $E$.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки. Эта теорема утверждает, что квадрат длины отрезка касательной от точки вне окружности до точки касания равен произведению длины отрезка секущей от той же точки до дальней точки пересечения на длину отрезка секущей от той же точки до ближней точки пересечения.

В нашем случае, AE — это касательная, а CE — секущая. Точка E — общая точка, из которой они проведены. Секущая пересекает окружность в точках B и C. Согласно условию, точка B лежит между C и E, значит B — ближняя точка пересечения, а C — дальняя.

Математически теорема записывается так:

$AE^2 = CE \cdot BE$

По условию задачи нам даны длины отрезков:

$BC = 5$ см

$BE = 4$ см

Отрезок CE является всей секущей, и его длина равна сумме длин его частей, CB и BE, так как точка B лежит между C и E.

$CE = CB + BE$

Подставим известные значения:

$CE = 5 \text{ см} + 4 \text{ см} = 9 \text{ см}$

Теперь мы можем использовать формулу теоремы для нахождения длины касательной AE:

$AE^2 = 9 \cdot 4$

$AE^2 = 36$

Чтобы найти длину AE, извлечем квадратный корень из 36. Так как длина отрезка не может быть отрицательной, мы берем положительное значение корня.

$AE = \sqrt{36} = 6 \text{ см}$

Ответ: длина AE равна 6 см.

4.69. Докажите, что угол между хордой и касательной, проведенной к окружности из одного конца данной хорды, равен половине центрального угла, натянутого на эту хорду.

Для доказательства утверждения рассмотрим окружность с центром в точке $O$. Проведем в ней хорду $AB$ и касательную к окружности в точке $A$. Обозначим на касательной точку $C$ так, чтобы угол $∠CAB$ был углом между хордой и касательной. Нам нужно доказать, что $∠CAB$ равен половине центрального угла $∠AOB$, который опирается на хорду $AB$.

То есть, мы доказываем равенство: $∠CAB = \frac{1}{2} ∠AOB$.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $ΔAOB$. Стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, поэтому они равны: $OA = OB$. Это означает, что треугольник $ΔAOB$ является равнобедренным.

2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $∠OAB = ∠OBA$.

3. Сумма углов в любом треугольнике равна $180°$. Для $ΔAOB$ имеем: $∠AOB + ∠OAB + ∠OBA = 180°$.

4. Заменив $∠OBA$ на $∠OAB$, получим: $∠AOB + 2 \cdot ∠OAB = 180°$.

5. Выразим из этого уравнения угол $∠OAB$:$2 \cdot ∠OAB = 180° - ∠AOB$$∠OAB = \frac{180° - ∠AOB}{2} = 90° - \frac{1}{2} ∠AOB$.

6. Теперь воспользуемся свойством касательной. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. В нашем случае касательная (прямая $AC$) перпендикулярна радиусу $OA$.

7. Это означает, что угол между радиусом $OA$ и касательной $AC$ равен $90°$: $∠OAC = 90°$.

8. Из рисунка видно, что угол $∠OAC$ складывается из двух углов: $∠OAB$ и $∠CAB$. То есть, $∠OAC = ∠OAB + ∠CAB$ (это верно для случая, когда хорда расположена так, что угол $∠CAB$ является острым).

9. Подставим известные нам выражения в это равенство:$90° = (90° - \frac{1}{2} ∠AOB) + ∠CAB$.

10. Упростим уравнение, чтобы найти $∠CAB$:$∠CAB = 90° - (90° - \frac{1}{2} ∠AOB)$$∠CAB = 90° - 90° + \frac{1}{2} ∠AOB$$∠CAB = \frac{1}{2} ∠AOB$.

Таким образом, мы доказали, что угол между хордой и касательной, проведенной из одного конца хорды, равен половине центрального угла, опирающегося на эту хорду. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Угол между хордой и касательной, проведенной к окружности из одного конца данной хорды, действительно равен половине центрального угла, натянутого на эту хорду.

4.70. Две хорды пересекаются внутри круга. Одна из хорд делится на отрезки, равные 24 см и 14 см, а одна из частей второй хорды равна 28 см. Найдите другую часть этой хорды.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством пересекающихся хорд в окружности. Теорема о пересекающихся хордах гласит, что если две хорды окружности пересекаются в одной точке, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды.

Пусть у нас есть две хорды, AB и CD, которые пересекаются в точке P, как показано на рисунке.

Согласно теореме, выполняется равенство: $AP \cdot PB = CP \cdot PD$.

По условию задачи, одна хорда делится точкой пересечения на отрезки, равные 24 см и 14 см. Пусть это будет хорда AB. Тогда длины ее отрезков $AP = 24$ см и $PB = 14$ см.

Одна из частей второй хорды, CD, равна 28 см. Пусть $CP = 28$ см. Длину другой части, $PD$, нам нужно найти. Обозначим ее как $x$.

Подставим известные значения в формулу:

$24 \cdot 14 = 28 \cdot x$

Вычислим произведение в левой части уравнения:

$24 \cdot 14 = 336$

Теперь наше уравнение выглядит так:

$336 = 28 \cdot x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 28:

$x = \frac{336}{28}$

Выполним деление:

$x = 12$

Следовательно, длина второй части второй хорды составляет 12 см.

Ответ: 12 см.

4.71. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $F$. Лежат ли точки $A$, $B$, $C$ и $D$ на одной окружности, если $AF=7$ см, $BF=21$ см, $CF=3$ см и $DF=16$ см?

Для того чтобы четыре точки A, B, C и D лежали на одной окружности, необходимо, чтобы выполнялось свойство пересекающихся хорд. Согласно этому свойству, если два отрезка (хорды) AB и CD пересекаются в точке F, то произведение длин отрезков, на которые точка F делит одну хорду, должно быть равно произведению длин отрезков, на которые она делит другую хорду.

Математически это условие выражается формулой:

$AF \cdot BF = CF \cdot DF$

Подставим в эту формулу данные из условия задачи:

$AF = 7$ см

$BF = 21$ см

$CF = 3$ см

$DF = 16$ см

Найдем произведение отрезков для хорды AB:

$AF \cdot BF = 7 \cdot 21 = 147$

Найдем произведение отрезков для хорды CD:

$CF \cdot DF = 3 \cdot 16 = 48$

Теперь сравним полученные произведения:

$147 \neq 48$

Поскольку равенство $AF \cdot BF = CF \cdot DF$ не выполняется, точки A, B, C и D не лежат на одной окружности.

Ответ: нет, точки A, B, C и D не лежат на одной окружности.

4.72. Радиус Земли равен 6370 км. Как далеко можно увидеть с самолета на высоте 4 км от поверхности Земли?

Для решения этой задачи мы можем представить Землю как идеальную сферу. Линия видимости от самолета до самой дальней точки на поверхности Земли (горизонта) будет касательной к поверхности Земли. Эта касательная, радиус Земли, проведенный в точку касания, и отрезок, соединяющий центр Земли с самолетом, образуют прямоугольный треугольник, как показано на схеме ниже.

Введем обозначения:
$R$ — радиус Земли, $R = 6370$ км.
$h$ — высота самолета над поверхностью, $h = 4$ км.
$d$ — искомое расстояние до горизонта.
В прямоугольном треугольнике OAH с прямым углом при вершине H (точка на горизонте):
- Катет $OH$ равен радиусу Земли $R$.
- Катет $AH$ равен расстоянию до горизонта $d$.
- Гипотенуза $OA$ равна расстоянию от центра Земли (O) до самолета (A), то есть $R + h$.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
$OH^2 + AH^2 = OA^2$
Подставив наши обозначения, получим:
$R^2 + d^2 = (R+h)^2$

Выразим $d$ из этого уравнения:
$d^2 = (R+h)^2 - R^2$
Раскроем скобки:
$d^2 = R^2 + 2Rh + h^2 - R^2$
Упростим выражение:
$d^2 = 2Rh + h^2$
Отсюда:
$d = \sqrt{2Rh + h^2}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:
$d = \sqrt{2 \cdot 6370 \cdot 4 + 4^2}$
$d = \sqrt{50960 + 16}$
$d = \sqrt{50976}$
$d \approx 225.78$ км.
Округлив результат до одного знака после запятой, получаем искомое расстояние.

Ответ: приблизительно 225.8 км.