Номер 4.78, страница 147 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.78. Из одной точки проведены касательная и секущая. Касательная длиннее внешнего отрезка секущей на 5 см и короче внутреннего отрезка на столько же. Найдите касательную.

Для решения задачи введем переменные и используем теорему о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности.

Пусть $T$ — длина касательной (отрезок AT), $E$ — длина внешнего отрезка секущей (отрезок AB), а $I$ — длина внутреннего отрезка секущей (хорда BC).

Из условий задачи составим систему уравнений:
1. Касательная длиннее внешнего отрезка секущей на 5 см: $T = E + 5$.
2. Касательная короче внутреннего отрезка на столько же (на 5 см): $T = I - 5$.

Выразим $E$ и $I$ через $T$ из этих уравнений:
$E = T - 5$
$I = T + 5$

Согласно теореме о касательной и секущей, квадрат длины касательной равен произведению всей секущей на ее внешнюю часть:
$AT^2 = AC \cdot AB$

Длина всей секущей AC равна сумме ее внешнего и внутреннего отрезков: $AC = AB + BC = E + I$.
Подставим наши обозначения в формулу теоремы:
$T^2 = (E + I) \cdot E$

Теперь подставим в это уравнение выражения для $E$ и $I$, которые мы получили ранее:
$T^2 = ((T - 5) + (T + 5)) \cdot (T - 5)$

Упростим и решим полученное уравнение относительно $T$:
$T^2 = (2T) \cdot (T - 5)$
$T^2 = 2T^2 - 10T$
$2T^2 - T^2 - 10T = 0$
$T^2 - 10T = 0$
$T(T - 10) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $T = 0$ и $T = 10$. Поскольку длина отрезка не может быть нулевой, физический смысл имеет только решение $T = 10$.

Таким образом, длина касательной составляет 10 см.

Ответ: 10 см.