Номер 4.80, страница 147 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.80. Окружность пересекает сторону угла на расстоянии $a$ и $b$ от его вершины, а другой стороны касается. Найдите расстояние от вершины угла до точки касания.

Пусть вершина угла будет точка $O$. Одна из сторон угла пересекает окружность в точках $A$ и $B$. Расстояния от вершины угла до этих точек равны $OA = a$ и $OB = b$. Для определенности, будем считать, что $a < b$, то есть точка $A$ лежит между $O$ и $B$. Другая сторона угла касается окружности в точке $C$. Требуется найти расстояние $OC$.

Для наглядности представим геометрическую ситуацию на рисунке:

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности. Теорема гласит: квадрат длины отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от той же точки до точек её пересечения с окружностью.

В нашем случае:

• Точка, из которой проведены касательная и секущая — это вершина угла $O$.
• Отрезок касательной — это $OC$. Его длину, которую нужно найти, обозначим за $x$.
• Секущая — это прямая, содержащая сторону угла $OA$ и $OB$.
• Отрезки секущей от точки $O$ до точек пересечения с окружностью — это $OA$ и $OB$. Их длины равны $a$ и $b$.

Согласно теореме о касательной и секущей, мы можем записать следующее равенство:

$OC^2 = OA \cdot OB$

Подставим известные значения в формулу:

$x^2 = a \cdot b$

Чтобы найти длину $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку длина отрезка является положительной величиной, мы берем только арифметический корень:

$x = \sqrt{ab}$

Таким образом, расстояние от вершины угла до точки касания равно среднему геометрическому расстояний от вершины до точек пересечения другой стороны угла с окружностью.

Ответ: $\sqrt{ab}$