Номер 4.79, страница 147 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.79. Через середину хорды длиной $a$ проведена хорда длиной $b$. На какие отрезки делится хорда длиной $b$?

Для решения этой задачи воспользуемся свойством пересекающихся хорд в окружности.

На какие отрезки делится хорда длиной b?

Пусть в окружности проведены две хорды: $AB$ длиной $a$ и $CD$ длиной $b$. Пусть точка $M$ — середина хорды $AB$. По условию, хорда $CD$ проходит через точку $M$, то есть хорды пересекаются в этой точке.

Согласно теореме о пересекающихся хордах, произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды: $AM \cdot MB = CM \cdot MD$

Поскольку точка $M$ является серединой хорды $AB$ длиной $a$, она делит эту хорду на два равных отрезка: $AM = MB = \frac{a}{2}$

Тогда произведение этих отрезков равно: $AM \cdot MB = \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{4}$

Пусть хорда $CD$ длиной $b$ делится точкой $M$ на отрезки $CM$ и $MD$. Обозначим их длины как $x$ и $y$ соответственно. Таким образом, $CM = x$ и $MD = y$. Сумма длин этих отрезков равна длине всей хорды $CD$: $x + y = b$

Из теоремы о пересекающихся хордах мы знаем, что произведение длин этих отрезков равно: $x \cdot y = AM \cdot MB = \frac{a^2}{4}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $x$ и $y$: 1. $x + y = b$ 2. $xy = \frac{a^2}{4}$

Согласно теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения: $t^2 - (x+y)t + xy = 0$

Подставим в него известные нам значения: $t^2 - bt + \frac{a^2}{4} = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$ с помощью формулы для корней: $t = \frac{-(-b) \pm \sqrt{(-b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{a^2}{4}}}{2 \cdot 1} = \frac{b \pm \sqrt{b^2 - a^2}}{2}$

Корни этого уравнения и есть длины искомых отрезков $x$ и $y$. Для того чтобы решение существовало в действительных числах, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $b^2 - a^2 \ge 0$, то есть $b \ge a$.

Таким образом, хорда длиной $b$ делится на два отрезка, длины которых равны: $\frac{b + \sqrt{b^2 - a^2}}{2}$ и $\frac{b - \sqrt{b^2 - a^2}}{2}$

Ответ: $\frac{b + \sqrt{b^2 - a^2}}{2}$ и $\frac{b - \sqrt{b^2 - a^2}}{2}$.