Номер 4.88, страница 148 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.88. Ромб $ADEF$ вписан в треугольник $ABC$ так, что его вершины $D, E, F$ лежат на сторонах $AB, BC, AC$ соответственно. Найдите отрезки $BE$ и $EC$, если $AB=14$ см, $BC=12$ см и $AC=10$ см.

Дано:
Треугольник $ABC$.
Ромб $ADEF$ вписан в треугольник $ABC$.
Вершина $A$ у треугольника и ромба общая.
Вершины $D, E, F$ лежат на сторонах $AB, BC, AC$ соответственно.
$AB = 14$ см.
$BC = 12$ см.
$AC = 10$ см.

Найти:
Длины отрезков $BE$ и $EC$.

Решение:

Для наглядности представим чертеж:

1. По условию, четырехугольник $ADEF$ — ромб. Одно из ключевых свойств ромба заключается в том, что его диагонали являются биссектрисами его углов. В нашем случае, отрезок $AE$ является диагональю ромба $ADEF$.

2. Следовательно, диагональ $AE$ делит угол $DAF$ пополам. Поскольку вершины $D$ и $F$ ромба лежат на сторонах $AB$ и $AC$ треугольника, угол $DAF$ совпадает с углом $BAC$ треугольника $ABC$. Таким образом, отрезок $AE$ является биссектрисой угла $BAC$ в треугольнике $ABC$.

3. Применим свойство биссектрисы треугольника. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону (в данном случае $BC$) на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника (в данном случае $AB$ и $AC$).

Запишем это свойство в виде формулы:
$ \frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC} $

4. Подставим в эту формулу известные длины сторон $AB = 14$ см и $AC = 10$ см:
$ \frac{BE}{EC} = \frac{14}{10} = \frac{7}{5} $

5. Из полученного соотношения мы можем выразить длину одного отрезка через другой: $BE = \frac{7}{5} EC$.
Также мы знаем, что точка $E$ лежит на стороне $BC$, поэтому сумма длин отрезков $BE$ и $EC$ равна длине стороны $BC$:
$ BE + EC = BC = 12 $ см.

6. Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} BE = \frac{7}{5} EC \\ BE + EC = 12 \end{cases} $
Подставим выражение для $BE$ из первого уравнения во второе:
$ \frac{7}{5} EC + EC = 12 $
Вынесем $EC$ за скобки:
$ (\frac{7}{5} + 1) EC = 12 $
$ (\frac{7}{5} + \frac{5}{5}) EC = 12 $
$ \frac{12}{5} EC = 12 $
Чтобы найти $EC$, разделим обе части уравнения на $\frac{12}{5}$ (или умножим на $\frac{5}{12}$):
$ EC = 12 \cdot \frac{5}{12} $
$ EC = 5 $ см.

7. Зная $EC$, найдем длину отрезка $BE$ из второго уравнения системы:
$ BE = 12 - EC = 12 - 5 = 7 $ см.

Проверим полученные значения: $BE/EC = 7/5$. Соотношение верное.

Ответ: $BE = 7$ см, $EC = 5$ см.