Номер 4.96, страница 149 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.96. Впишите квадрат в полуокружность так, чтобы одна из его сторон лежала на диаметре полуокружности.

Для решения этой задачи на построение воспользуемся методом гомотетии (подобия). План решения следующий: сначала проведем краткий анализ свойств искомой фигуры, затем опишем алгоритм построения и, наконец, докажем, что построенная фигура удовлетворяет всем условиям задачи.

Анализ

Предположим, что искомый квадрат $ABCD$ построен. Пусть его сторона $AB$ лежит на диаметре полуокружности, а вершины $C$ и $D$ — на дуге. Пусть $O$ — центр полуокружности, а ее ось симметрии — перпендикуляр к диаметру, проходящий через $O$. Тогда эта ось будет также осью симметрии для квадрата. Это означает, что вершины $A$ и $B$ будут лежать на диаметре симметрично относительно центра $O$, а вершины $C$ и $D$ — на дуге, также симметрично относительно оси симметрии. Все такие квадраты (разных размеров, но с тем же центром симметрии) подобны друг другу, и их можно получить один из другого гомотетией (преобразованием подобия) с центром в точке $O$. Это наблюдение лежит в основе метода построения.

Построение

1. Пусть дана полуокружность с центром в точке $O$ и диаметром, лежащим на прямой $l$. Проведем через точку $O$ прямую $m$, перпендикулярную диаметру $l$ (это будет ось симметрии).
2. Построим вспомогательный (пробный) квадрат $A'B'C'D'$, у которого одна сторона лежит на диаметре и который симметричен относительно прямой $m$:
a. На диаметре $l$ выберем произвольные, симметричные относительно $O$, точки $A'$ и $B'$.
b. В точках $A'$ и $B'$ восстановим перпендикуляры к диаметру в сторону полуокружности.
c. На перпендикуляре, проходящем через $B'$, отложим отрезок $B'C'$, равный отрезку $A'B'$.
d. Через точку $C'$ проведем прямую, параллельную диаметру $l$. Точка ее пересечения с перпендикуляром из $A'$ даст четвертую вершину $D'$. Квадрат $A'B'C'D'$ построен.
3. Проведем лучи $OC'$ и $OD'$ до их пересечения с дугой полуокружности. Точки пересечения обозначим $C$ и $D$ соответственно. Это две "верхние" вершины искомого квадрата.
4. Из точек $C$ и $D$ опустим перпендикуляры на диаметр $l$. Основания этих перпендикуляров обозначим $B$ и $A$ соответственно.
5. Соединив точки $A, B, C, D$, получим искомый квадрат.

Доказательство

Рассмотрим гомотетию с центром в точке $O$, которая переводит точку $C'$ в точку $C$. Пусть коэффициент гомотетии $k = OC/OC'$.
Поскольку точки $O, D', D$ лежат на одной прямой и $O, C', C$ лежат на одной прямой, а также пробный квадрат $A'B'C'D'$ и полуокружность симметричны относительно прямой $m$, то образом точки $D'$ при этой гомотетии будет точка $D$.
Гомотетия переводит прямые в параллельные им прямые. Так как $A'B'C'D'$ — квадрат, то $A'B' \parallel C'D'$, $A'D' \parallel B'C'$, и $A'B' \perp B'C'$. Следовательно, в полученном четырехугольнике $ABCD$ соответствующие стороны также будут параллельны и перпендикулярны: $AB \parallel CD$, $AD \parallel BC$, и $AB \perp BC$. Таким образом, $ABCD$ — прямоугольник.
При гомотетии с центром $O$ образом отрезка $A'B'$, лежащего на диаметре, является отрезок $AB$, также лежащий на диаметре. Образом отрезка $B'C'$ является отрезок $BC$. Преобразование подобия сохраняет отношение длин сторон: $BC/AB = B'C'/A'B'$. Так как $A'B'C'D'$ — квадрат, то $B'C' = A'B'$, а значит, и в образе $BC = AB$.
Прямоугольник $ABCD$, у которого смежные стороны равны, является квадратом.
По построению, сторона $AB$ квадрата $ABCD$ лежит на диаметре полуокружности, а вершины $C$ и $D$ лежат на дуге полуокружности.
Следовательно, построенный квадрат $ABCD$ является искомым.

Ответ: Построение квадрата выполняется методом гомотетии, как описано и показано на рисунке. Ключевые шаги: 1) построение произвольного "пробного" квадрата с одной стороной на диаметре и симметричного относительно оси полуокружности; 2) проведение лучей из центра полуокружности через "верхние" вершины этого квадрата до пересечения с дугой; 3) завершение построения искомого квадрата на основе полученных точек пересечения.