Работа в группах, страница 155 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

РАБОТА В ГРУППЕ

Сколько осей симметрии имеется в правильном $n$-угольнике?

Может ли правильный $n$-угольник иметь центр симметрии?

Какие многоугольники имеют центр симметрии? Обоснуйте ответ.

Сколько осей симметрии имеется в правильном n-угольнике?

Число осей симметрии правильного $n$-угольника всегда равно $n$. Однако тип этих осей зависит от четности числа сторон $n$.

1. Если $n$ — нечетное число (например, правильный треугольник, пятиугольник), то каждая ось симметрии проходит через одну из вершин и середину противолежащей ей стороны. Так как вершин $n$, то и осей симметрии тоже $n$.

Пример: ось симметрии правильного пятиугольника ($n=5$).

2. Если $n$ — четное число (например, квадрат, правильный шестиугольник), то оси симметрии бывают двух типов:
• $n/2$ осей, проходящих через пары противолежащих вершин.
• $n/2$ осей, проходящих через середины пар противолежащих сторон.
В сумме получается $n/2 + n/2 = n$ осей симметрии.

Пример: два типа осей симметрии правильного шестиугольника ($n=6$).

Таким образом, в любом случае правильный $n$-угольник имеет ровно $n$ осей симметрии.

Ответ: Правильный $n$-угольник имеет $n$ осей симметрии.

Может ли правильный n-угольник иметь центр симметрии?

Да, может. Центр симметрии — это точка, поворот вокруг которой на $180^\circ$ совмещает фигуру саму с собой. Наличие такого центра у правильного $n$-угольника зависит от четности $n$.

Если $n$ — четное число, то правильный $n$-угольник имеет центр симметрии. Этим центром является его геометрический центр (центр вписанной и описанной окружностей). При повороте на $180^\circ$ вокруг этого центра каждая вершина переходит в противолежащую ей вершину, и многоугольник совмещается сам с собой.

Если $n$ — нечетное число, то у правильного $n$-угольника нет центра симметрии. У него нет пар противолежащих вершин, поэтому поворот на $180^\circ$ вокруг геометрического центра не может совместить многоугольник с самим собой. Каждая вершина при таком повороте отобразится в точку на серединном перпендикуляре к противолежащей стороне, но не в другую вершину.

Ответ: Да, правильный $n$-угольник может иметь центр симметрии, если число его сторон $n$ является четным.

Какие многоугольники имеют центр симметрии? Обоснуйте ответ.

Центр симметрии имеют многоугольники, которые являются центрально-симметричными фигурами. Это свойство означает, что существует такая точка $O$ (центр симметрии), что для любой точки $P$ на границе многоугольника точка $P'$, симметричная $P$ относительно $O$, также лежит на границе многоугольника.

Обоснование:
Для того чтобы многоугольник обладал центральной симметрией, его вершины и стороны должны существовать в симметричных парах.
1. Для каждой вершины $V_i$ должна найтись симметричная ей вершина $V_j$, такая что центр симметрии $O$ является серединой отрезка $V_iV_j$. Это возможно только если все вершины можно разбить на пары, а значит, их общее число $n$ должно быть четным.
2. Для каждой стороны должна существовать симметричная ей сторона, которая будет ей равна по длине и параллельна.
Таким образом, многоугольник имеет центр симметрии тогда и только тогда, когда у него четное число сторон, и эти стороны попарно равны и параллельны.

Примеры многоугольников, имеющих центр симметрии:
• Любой параллелограмм (включая квадрат, прямоугольник, ромб). Центр симметрии — точка пересечения диагоналей.
• Любой правильный многоугольник с четным числом сторон (квадрат, правильный шестиугольник, восьмиугольник и т.д.).
• Некоторые невыпуклые многоугольники (например, правильная гексаграмма).

Ответ: Центр симметрии имеют многоугольники с четным числом вершин, у которых для каждой стороны существует равная ей и параллельная сторона, расположенная симметрично относительно центра. Например, все параллелограммы и все правильные многоугольники с четным числом сторон.