Номер 4.108, страница 156 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.108. Докажите, что радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, в два раза меньше радиуса окружности, описанной около него.

Для доказательства утверждения рассмотрим правильный (равносторонний) треугольник. Пусть $R$ — это радиус описанной около него окружности, а $r$ — радиус вписанной в него окружности.

Ключевым свойством правильного треугольника является то, что центры его вписанной и описанной окружностей совпадают. Эта общая центральная точка, обозначим её $O$, также является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот треугольника. Точка пересечения медиан называется центроидом.

Проведём в треугольнике $ABC$ медиану $AM$ из вершины $A$ к стороне $BC$. В равностороннем треугольнике медиана одновременно является высотой, поэтому $AM$ перпендикулярна $BC$.

Радиус описанной окружности $R$ равен расстоянию от центра $O$ до любой из вершин. Таким образом, $R = AO$.

Радиус вписанной окружности $r$ равен расстоянию от центра $O$ до любой из сторон. Так как $AM \perp BC$, это расстояние равно длине отрезка $OM$. Таким образом, $r = OM$.

Воспользуемся известным свойством центроида треугольника: он делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Применительно к медиане $AM$, это означает, что $AO : OM = 2 : 1$.

Заменяя в этом отношении отрезки $AO$ и $OM$ на соответствующие им радиусы $R$ и $r$, мы получаем:

$R : r = 2 : 1$

Из этой пропорции следует, что $R = 2r$, или, что эквивалентно, $r = \frac{1}{2}R$.

Таким образом, мы доказали, что радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, в два раза меньше радиуса окружности, описанной около него.

Ответ: Доказательство основано на том, что в правильном треугольнике центр вписанной и описанной окружностей совпадает с центроидом (точкой пересечения медиан). Центроид делит медиану, которая также является и высотой, в отношении 2:1, считая от вершины. Больший отрезок является радиусом описанной окружности ($R$), а меньший — радиусом вписанной ($r$). Следовательно, их отношение $R:r=2:1$, что и требовалось доказать.