Номер 4.127, страница 158 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.127. Докажите, что отрезок, ограниченный вершиной треугольника и противоположной ей стороной, меньше наибольшей стороны треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим длины его сторон как $|BC| = a$, $|AC| = b$ и $|AB| = c$. Без ограничения общности будем считать, что сторона $AC$ является наибольшей стороной треугольника, то есть $b \ge a$ и $b \ge c$. Нам необходимо доказать, что любой отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне, меньше по длине, чем сторона $AC$.

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне, называется чевианой. Проанализируем все три возможных случая, в зависимости от вершины, из которой исходит чевиана.

Случай 1: Чевиана проведена из вершины B.
Пусть из вершины $B$ проведена чевиана $BD$ к стороне $AC$, где точка $D$ лежит на отрезке $AC$. Рассмотрим два треугольника, на которые чевиана разбивает исходный: $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$. Углы $\angle BDA$ и $\angle BDC$ являются смежными, следовательно, их сумма равна $180^\circ$. Это означает, что хотя бы один из этих углов не является острым (то есть он либо прямой, либо тупой, $\ge 90^\circ$).
Если $\angle BDA \ge 90^\circ$, то в треугольнике $\triangle ABD$ этот угол является наибольшим. Следовательно, противолежащая ему сторона $AB$ является наибольшей стороной в этом треугольнике: $|AB| > |BD|$. Так как по нашему предположению $AC$ — наибольшая сторона в $\triangle ABC$, то $|AC| \ge |AB|$. Из этих двух неравенств следует, что $|AC| > |BD|$.
Если $\angle BDC \ge 90^\circ$, то в треугольнике $\triangle BCD$ этот угол является наибольшим. Следовательно, противолежащая ему сторона $BC$ является наибольшей стороной в этом треугольнике: $|BC| > |BD|$. Так как $|AC| \ge |BC|$, то получаем $|AC| > |BD|$.
Таким образом, в любом случае чевиана $BD$ меньше наибольшей стороны $AC$.

Случай 2: Чевиана проведена из вершины C.
Пусть из вершины $C$ проведена чевиана $CF$ к стороне $AB$, где точка $F$ лежит на отрезке $AB$. Рассмотрим треугольник $\triangle AFC$. Мы хотим доказать, что $|CF| < |AC|$. Для этого сравним углы, лежащие напротив этих сторон: $\angle A$ и $\angle AFC$.
Угол $\angle AFC$ является внешним углом для треугольника $\triangle BFC$. По теореме о внешнем угле треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle AFC = \angle B + \angle BCF$. Поскольку угол $\angle B$ в треугольнике положителен, то $\angle AFC > \angle B$.
Так как $AC$ — наибольшая сторона в $\triangle ABC$, то противолежащий ей угол $\angle B$ является наибольшим углом в этом треугольнике: $\angle B \ge \angle A$.
Объединяя неравенства, получаем: $\angle AFC > \angle B \ge \angle A$, откуда следует, что $\angle AFC > \angle A$.
В треугольнике $\triangle AFC$ напротив большего угла лежит большая сторона. Так как $\angle AFC > \angle A$, то сторона $|AC|$ (напротив $\angle AFC$) больше стороны $|CF|$ (напротив $\angle A$). То есть, $|AC| > |CF|$.

Случай 3: Чевиана проведена из вершины A.
Пусть из вершины $A$ проведена чевиана $AE$ к стороне $BC$, где точка $E$ лежит на отрезке $BC$. Рассуждения аналогичны предыдущему случаю. Рассмотрим треугольник $\triangle AEC$. Мы хотим доказать, что $|AE| < |AC|$. Сравним углы $\angle C$ и $\angle AEC$, лежащие напротив этих сторон.
Угол $\angle AEC$ является внешним для треугольника $\triangle ABE$. Следовательно, $\angle AEC = \angle B + \angle BAE$, и значит $\angle AEC > \angle B$.
Поскольку $AC$ — наибольшая сторона в $\triangle ABC$, то $\angle B \ge \angle C$.
Отсюда получаем, что $\angle AEC > \angle B \ge \angle C$, то есть $\angle AEC > \angle C$.
В треугольнике $\triangle AEC$ напротив большего угла $\angle AEC$ лежит большая сторона $AC$, а напротив меньшего угла $\angle C$ лежит меньшая сторона $AE$. Следовательно, $|AC| > |AE|$.

Мы рассмотрели все возможные случаи и в каждом из них показали, что длина отрезка, соединяющего вершину с точкой на противоположной стороне, меньше длины наибольшей стороны треугольника. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Длина отрезка, ограниченного вершиной треугольника и противоположной ей стороной, всегда меньше длины наибольшей стороны этого треугольника.