Страница 159 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.134. Найдите угол между касательными, проведенными к окружности в вершинах вписанного в окружность треугольника, если даны углы этого вписанного треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$, вписанный в окружность с центром в точке $O$. Обозначим углы этого треугольника как $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$ и $\angle C = \gamma$. К окружности в вершинах $A$, $B$ и $C$ проведены касательные. Эти касательные попарно пересекаются и образуют новый треугольник. Найдем углы этого нового треугольника.

Угол, образованный касательными в вершинах B и C

Пусть $P$ — точка пересечения касательных, проведенных к окружности в вершинах $B$ и $C$. Рассмотрим четырехугольник $OBPC$. По свойству касательной, радиусы $OB$ и $OC$ перпендикулярны касательным в точках $B$ и $C$ соответственно. Следовательно, углы $\angle OBP$ и $\angle OCP$ равны $90^\circ$. Сумма углов четырехугольника $OBPC$ равна $360^\circ$:

$ \angle BPC + \angle OBP + \angle BOC + \angle OCP = 360^\circ $

$ \angle P + 90^\circ + \angle BOC + 90^\circ = 360^\circ \implies \angle P = 180^\circ - \angle BOC $

Угол $\angle BOC$ — центральный, опирающийся на дугу $BC$. Вписанный угол $\angle BAC = \alpha$ опирается на ту же дугу. Поэтому $\angle BOC = 2\alpha$. Подставляя это в формулу для $\angle P$, получаем:

$ \angle P = 180^\circ - 2\alpha $

Ответ: Угол, образованный касательными в вершинах $B$ и $C$, равен $180^\circ - 2\alpha$.

Угол, образованный касательными в вершинах A и C

Пусть $Q$ — точка пересечения касательных в вершинах $A$ и $C$. Рассуждая аналогично для четырехугольника $OAQC$, получаем, что угол $\angle Q$ связан с центральным углом $\angle AOC$. Центральный угол $\angle AOC$ опирается на дугу $AC$, на которую также опирается вписанный угол $\angle ABC = \beta$. Следовательно, $\angle AOC = 2\beta$. Тогда:

$ \angle Q = 180^\circ - \angle AOC = 180^\circ - 2\beta $

Ответ: Угол, образованный касательными в вершинах $A$ и $C$, равен $180^\circ - 2\beta$.

Угол, образованный касательными в вершинах A и B

Пусть $R$ — точка пересечения касательных в вершинах $A$ и $B$. Аналогично для четырехугольника $OARB$, угол $\angle R$ связан с центральным углом $\angle AOB$. Центральный угол $\angle AOB$ опирается на дугу $AB$, на которую опирается вписанный угол $\angle ACB = \gamma$. Следовательно, $\angle AOB = 2\gamma$. Тогда:

$ \angle R = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 2\gamma $

Ответ: Угол, образованный касательными в вершинах $A$ и $B$, равен $180^\circ - 2\gamma$.

4.135. При каком условии центр описанной около треугольника окружности лежит внутри него, на его стороне, снаружи его?

Положение центра описанной около треугольника окружности (точки пересечения серединных перпендикуляров к сторонам) зависит от вида треугольника по величине его углов.

...внутри него

Центр описанной окружности лежит внутри треугольника, если все углы треугольника острые, то есть меньше $90^\circ$. Такой треугольник называется остроугольным. В этом случае все три серединных перпендикуляра пересекаются во внутренней области треугольника.

На рисунке показан остроугольный треугольник $ABC$, его описанная окружность и центр этой окружности $O$, который находится внутри треугольника.

Ответ: центр описанной окружности лежит внутри треугольника, если треугольник остроугольный.

...на его стороне

Центр описанной окружности лежит на одной из его сторон, если один из углов треугольника прямой, то есть равен $90^\circ$. Такой треугольник называется прямоугольным. Согласно следствию из теоремы о вписанном угле, угол, опирающийся на диаметр, является прямым. Следовательно, сторона, на которой лежит центр описанной окружности, является её диаметром, а противолежащий ей угол — прямым. Центр окружности в этом случае совпадает с серединой гипотенузы.

На рисунке показан прямоугольный треугольник $ABC$ (угол $C$ — прямой). Центр описанной окружности $O$ лежит на середине гипотенузы $AB$.

Ответ: центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, если треугольник прямоугольный.

...снаружи его

Центр описанной окружности лежит снаружи треугольника, если один из углов треугольника тупой, то есть больше $90^\circ$. Такой треугольник называется тупоугольным. В этом случае серединные перпендикуляры к сторонам, прилегающим к тупому углу, пересекаются за пределами треугольника. Центр окружности оказывается по ту же сторону от противолежащей тупому углу стороны, что и сам треугольник.

На рисунке показан тупоугольный треугольник $ABC$ (угол $C$ — тупой). Центр описанной окружности $O$ находится вне треугольника, с противоположной стороны от вершины $C$ относительно стороны $AB$.

Ответ: центр описанной окружности лежит снаружи треугольника, если треугольник тупоугольный.

4.136. Докажите, что любые два квадрата подобны.

Для доказательства того, что любые два квадрата подобны, необходимо показать, что они удовлетворяют определению подобных многоугольников. Два многоугольника являются подобными, если их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Рассмотрим два произвольных квадрата: Квадрат 1 со стороной $a_1$ и Квадрат 2 со стороной $a_2$.

Во-первых, проверим равенство углов. По определению, все углы любого квадрата являются прямыми и равны $90^\circ$. Следовательно, все углы Квадрата 1 равны $90^\circ$, и все углы Квадрата 2 также равны $90^\circ$. Таким образом, соответствующие углы двух квадратов всегда равны друг другу. Первое условие подобия выполняется.

Во-вторых, проверим пропорциональность сторон. У квадрата все стороны равны. Значит, у Квадрата 1 все четыре стороны имеют длину $a_1$, а у Квадрата 2 — $a_2$.

Найдем отношение длин соответствующих сторон. Для любой пары соответствующих сторон (например, верхней стороны первого квадрата и верхней стороны второго) это отношение будет равно $a_1 / a_2$. Поскольку все стороны каждого квадрата равны, это отношение будет одинаковым для всех четырех пар соответствующих сторон. Это постоянное число $k = \frac{a_1}{a_2}$ называется коэффициентом подобия. Следовательно, второе условие подобия — пропорциональность сторон — также выполняется.

Так как для любых двух квадратов выполняются оба условия подобия (равенство соответствующих углов и пропорциональность соответствующих сторон), мы доказали, что любые два квадрата подобны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Любые два квадрата подобны, поскольку все их углы равны ($90^\circ$), а отношение длин их соответствующих сторон постоянно и равно $k = \frac{a_1}{a_2}$, где $a_1$ и $a_2$ — длины сторон квадратов.

4.137. Основание $BC$ треугольника $ABC$ равно $a$, точки $D$, $E$ делят стороны $AB$ и $BC$ соответственно в отношении $m : n$. Найдите длину $DE$.

В условии задачи, по-видимому, допущена опечатка. Если точка D лежит на стороне AB, а точка E — на стороне BC, то длина отрезка DE зависит не только от длины основания BC ($a$), но и от длины стороны AB и величины угла B. Поскольку эти параметры не заданы, задача в исходной формулировке не имеет однозначного решения.

Вероятнее всего, имелось в виду, что точка E делит сторону AC, а не BC. Ниже приведено решение для этой исправленной и стандартной постановки задачи.

Рассмотрим треугольник $ABC$ и треугольник $ADE$.

1. Угол $\angle A$ (или $\angle BAC$) является общим для обоих треугольников.

2. Согласно условию, точка D делит сторону AB в отношении $m:n$. Будем придерживаться стандартной трактовки, что это означает $AD:DB = m:n$. Из этого соотношения найдем, какую часть составляет отрезок $AD$ от всей стороны $AB$.

$AB = AD + DB$

$\frac{AD}{AB} = \frac{AD}{AD+DB}$

Если принять $AD = k \cdot m$ и $DB = k \cdot n$ для некоторого коэффициента $k$, то $AB = k(m+n)$. Тогда:

$\frac{AD}{AB} = \frac{km}{k(m+n)} = \frac{m}{m+n}$

3. Аналогично, точка E делит сторону AC в отношении $m:n$, то есть $AE:EC = m:n$. Найдем отношение длины отрезка $AE$ к длине всей стороны $AC$:

$\frac{AE}{AC} = \frac{AE}{AE+EC} = \frac{m}{m+n}$

4. Мы получили, что стороны двух треугольников, прилежащие к общему углу $\angle A$, пропорциональны:

$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{m}{m+n}$

Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), треугольник $\triangle ADE$ подобен треугольнику $\triangle ABC$.

5. Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия. В данном случае коэффициент подобия $k_{p}$ равен $\frac{m}{m+n}$. Сторона $DE$ треугольника $\triangle ADE$ соответствует стороне $BC$ треугольника $\triangle ABC$. Значит:

$\frac{DE}{BC} = k_{p} = \frac{m}{m+n}$

6. В условии дано, что длина основания $BC = a$. Подставим это значение в полученное равенство:

$\frac{DE}{a} = \frac{m}{m+n}$

7. Выразим искомую длину отрезка $DE$:

$DE = a \cdot \frac{m}{m+n}$

Ответ: $DE = \frac{am}{m+n}$.

4.138. Разделите параллелограмм на три части так, чтобы из них можно было составить прямоугольник.

Для того чтобы разделить параллелограмм на три части, из которых можно составить прямоугольник, необходимо выполнить два разреза. Эти разрезы отсекут два равных прямоугольных треугольника по краям и оставят в центре параллелограмм.

Рассмотрим параллелограмм ABCD. Построение выполняется следующим образом:

1. Из вершины A опускаем перпендикуляр AE на прямую, содержащую сторону CD.
2. Из вершины C опускаем перпендикуляр CF на прямую, содержащую сторону AB.

В результате этих двух разрезов параллелограмм ABCD делится на три части:

• Прямоугольный треугольник ADE (Часть 1).
• Прямоугольный треугольник CBF (Часть 2).
• Параллелограмм AFCE (Часть 3).

Треугольники ADE и CBF равны, так как у них равны гипотенузы (AD = CB как противоположные стороны параллелограмма) и катеты (AE = CF как высоты между параллельными прямыми AB и CD).

Процесс разделения параллелограмма:

Сборка прямоугольника из полученных частей:

Чтобы собрать прямоугольник, необходимо переместить треугольные части.

1. Центральная часть (параллелограмм AFCE) остается на месте.
2. Треугольник ADE (Часть 1) перемещается так, чтобы его катет AE совместился с катетом CF Части 3.
3. Треугольник CBF (Часть 2) перемещается так, чтобы его катет CF совместился с катетом AE Части 3.

В результате этих перемещений получается прямоугольник. Стороны этого прямоугольника равны высоте параллелограмма ABCD (длине отрезка AE) и сумме длины отрезка AF и проекции стороны AD на прямую AB.

Ответ: Параллелограмм следует разделить двумя перпендикулярами, опущенными из двух противоположных вершин (например, A и C) на прямые, содержащие противоположные им стороны (CD и AB соответственно). Полученные три фигуры (два равных прямоугольных треугольника и центральный параллелограмм) можно переставить, чтобы образовать прямоугольник.

4.139. Разделите треугольник на три части так, чтобы из них можно было составить прямоугольник.

Для того чтобы разделить произвольный треугольник на три части, из которых можно составить прямоугольник, необходимо выполнить следующие шаги. Этот метод универсален и подходит для любого типа треугольника.

1. Построение разрезов

Сначала нужно определить линии, по которым будет разрезан треугольник.

1. Пусть дан треугольник $ABC$. Выберем одну из его сторон в качестве основания, например, сторону $AC$. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AC$. Обозначим длину основания $AC$ как $b$ и длину высоты $BH$ как $h$.
2. Найдем середины боковых сторон $AB$ и $BC$. Обозначим эти точки как $D$ и $E$ соответственно.
3. Соединим точки $D$ и $E$. Отрезок $DE$ является средней линией треугольника. Он параллелен основанию $AC$ и его длина равна половине длины основания ($DE = b/2$).
4. Высота $BH$ пересекает среднюю линию $DE$ в точке $P$. Точка $P$ является серединой высоты $BH$, так как $DE$ — средняя линия.
5. Разрезы производятся по отрезкам $DP$ и $PE$. Эти два отрезка делят исходный треугольник $ABC$ на три части:
   • Часть 1: Пятиугольник $ADPEC$.
   • Часть 2: Треугольник $BDP$.
   • Часть 3: Треугольник $BEP$.

На рисунке ниже показан треугольник $ABC$ и линии разреза (обозначены красным), которые делят его на три указанные части.

2. Сборка прямоугольника

Теперь необходимо переместить полученные части, чтобы сложить из них прямоугольник.

1. Часть 2 (треугольник $BDP$) поворачивается на $180^\circ$ вокруг точки $D$. Поскольку $D$ — середина стороны $AB$, вершина $B$ перейдет в вершину $A$. Вершина $P$ перейдет в новую точку $P'$.
2. Часть 3 (треугольник $BEP$) поворачивается на $180^\circ$ вокруг точки $E$. Поскольку $E$ — середина стороны $BC$, вершина $B$ перейдет в вершину $C$. Вершина $P$ перейдет в новую точку $P''$.
3. В результате этих перемещений треугольники (Часть 2 и Часть 3) "заполняют" углы у основания пятиугольника (Часть 1), образуя прямоугольник $AP'P''C$.

На рисунке ниже показан итоговый прямоугольник, собранный из трех частей.

3. Обоснование

Полученная фигура $AP'P''C$ является прямоугольником. Нижняя сторона $AC$ имеет длину $b$. Верхняя сторона $P'P''$ также имеет длину $b$, так как она состоит из отрезков, которые в сумме дают удвоенную длину средней линии ($P'P''=P'D+DE+EP''=PD+DE+PE=2DE=2(b/2)=b$). Высота прямоугольника $AP'$ (и $CP''$) равна отрезку $BP$, который является половиной высоты треугольника ($BP = h/2$). Стороны $AP'$ и $CP''$ перпендикулярны основанию $AC$, так как они являются результатом поворота отрезка высоты $BP$, который был перпендикулярен средней линии $DE$ (и, следовательно, основанию $AC$). Таким образом, из трех частей исходного треугольника составлен прямоугольник с размерами $b \times \frac{h}{2}$. Площадь прямоугольника равна $b \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{2}bh$, что равно площади исходного треугольника.

Ответ: Треугольник нужно разделить на три части: два малых треугольника, отсекаемых от вершины отрезками, соединяющими середины боковых сторон с основанием высоты, проведенной к средней линии, и оставшийся пятиугольник у основания. Затем малые треугольники поворачиваются на $180^\circ$ вокруг середин боковых сторон и приставляются к пятиугольнику, образуя прямоугольник, как показано на рисунках.

4.140. Трапеция своими диагоналями делится на четыре треугольника. Докажите, что треугольники, основаниями которых являются ее боковые стороны, равновелики.

Доказательство:

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$) и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. При пересечении диагоналей образуются четыре треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle AOD$. Требуется доказать, что треугольники, прилегающие к боковым сторонам, то есть $\triangle AOB$ и $\triangle COD$, равновелики (имеют равные площади).

1. Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$.

У этих треугольников общее основание $AD$. Высоты этих треугольников, проведенные из вершин $B$ и $C$ к основанию $AD$ (или его продолжению), равны между собой. Это следует из того, что основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны, и расстояние между параллельными прямыми постоянно. Эта высота равна высоте трапеции.

2. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Поскольку у треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$ общее основание $AD$ и равные высоты, их площади равны:

$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$

3. Теперь представим площади этих треугольников как сумму площадей треугольников, на которые они разбиты диагоналями.

Площадь треугольника $\triangle ABD$ равна сумме площадей треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle AOD$:

$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle AOD}$

Площадь треугольника $\triangle ACD$ равна сумме площадей треугольников $\triangle COD$ и $\triangle AOD$:

$S_{\triangle ACD} = S_{\triangle COD} + S_{\triangle AOD}$

4. Так как $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$, мы можем приравнять правые части этих выражений:

$S_{\triangle AOB} + S_{\triangle AOD} = S_{\triangle COD} + S_{\triangle AOD}$

5. Вычтем из обеих частей равенства площадь треугольника $\triangle AOD$, которая является общей для обоих больших треугольников:

$S_{\triangle AOB} = S_{\triangle COD}$

Таким образом, доказано, что площади треугольников, основаниями которых являются боковые стороны трапеции, равны.

Ответ: Треугольники, прилегающие к боковым сторонам трапеции, равновелики, что и требовалось доказать.

4.141. Найдите общую касательную окружностей радиусами $R$ и $r$, касающихся друг друга внешним образом.

Пусть даны две окружности с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ и радиусами $R$ и $r$ соответственно. Окружности касаются друг друга внешним образом. Это означает, что расстояние между их центрами равно сумме их радиусов: $O_1O_2 = R + r$.

Рассмотрим внешнюю общую касательную к этим окружностям. Пусть $A$ и $B$ — точки касания этой прямой с первой и второй окружностями соответственно. Требуется найти длину отрезка $AB$.

Проведем радиусы $O_1A$ и $O_2B$ к точкам касания. Согласно свойству касательной, радиусы перпендикулярны касательной в точке касания. Таким образом, $O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$. Отсюда следует, что $O_1A \parallel O_2B$.

Фигура $O_1ABO_2$ представляет собой прямоугольную трапецию с основаниями $O_1A = R$ и $O_2B = r$ и прямыми углами при вершинах $A$ и $B$.

Для нахождения длины стороны $AB$ проведем из центра меньшей окружности (предположим, это $O_2$) прямую, параллельную касательной $AB$, которая пересекает радиус $O_1A$ в точке $C$.

Полученный четырехугольник $ABO_2C$ является прямоугольником, так как у него три прямых угла (при $A$, $B$ и $C$). Следовательно, $AB = CO_2$ и $AC = O_2B = r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $O_1CO_2$. Его гипотенуза $O_1O_2 = R + r$. Один катет $O_1C = O_1A - AC = R - r$. Второй катет $CO_2$ равен искомой длине $AB$.

Применим теорему Пифагора: $(O_1O_2)^2 = (O_1C)^2 + (CO_2)^2$.

Подставим известные величины:

$(R + r)^2 = (R - r)^2 + (AB)^2$

Выразим $(AB)^2$:

$(AB)^2 = (R + r)^2 - (R - r)^2$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$(AB)^2 = (R^2 + 2Rr + r^2) - (R^2 - 2Rr + r^2)$

$(AB)^2 = R^2 + 2Rr + r^2 - R^2 + 2Rr - r^2 = 4Rr$

Извлекая квадратный корень, находим длину отрезка общей касательной:

$AB = \sqrt{4Rr} = 2\sqrt{Rr}$

Стоит отметить, что у таких окружностей есть также внутренняя общая касательная, которая проходит через точку их касания. Длина отрезка такой касательной между точками касания равна нулю. Так как в задаче требуется найти длину, как правило, имеется в виду нетривиальный случай, то есть длина отрезка внешней касательной.

Ответ: $2\sqrt{Rr}$

4.142. По данной площади треугольника постройте квадрат одинаковой с ним площади.

Задача о построении квадрата, равновеликого (т.е. имеющего ту же площадь) данному треугольнику, решается в два основных этапа. Сначала треугольник преобразуется в прямоугольник равной площади, а затем этот прямоугольник преобразуется в равновеликий ему квадрат. Последний шаг известен как задача о "квадратуре прямоугольника" и решается с помощью построения среднего геометрического.

Анализ

Пусть дан треугольник $ABC$ с основанием $b$ (например, сторона $BC$) и высотой $h$, проведенной к этому основанию (например, $AH$). Площадь треугольника вычисляется по формуле $S_{\triangle} = \frac{1}{2}bh$.

Мы можем построить прямоугольник с такой же площадью. Например, прямоугольник со сторонами $h$ и $\frac{b}{2}$. Его площадь будет равна $S_{\text{прям}} = h \cdot \frac{b}{2} = S_{\triangle}$.

Теперь нам нужно построить квадрат со стороной $a$, площадь которого $S_{\text{кв}} = a^2$ равна площади этого прямоугольника. Следовательно, $a^2 = h \cdot \frac{b}{2}$, откуда сторона квадрата $a = \sqrt{h \cdot \frac{b}{2}}$.

Таким образом, задача сводится к построению отрезка $a$, который является средним геометрическим (средним пропорциональным) двух известных отрезков: высоты треугольника $h$ и половины его основания $\frac{b}{2}$.

Построение

Пусть дан треугольник $ABC$.

1. Выберем одну из сторон треугольника в качестве основания, например, $BC$.

2. С помощью циркуля и линейки построим высоту $AH$, опущенную из вершины $A$ на прямую, содержащую основание $BC$.

3. Построим середину основания $BC$, точку $M$. Отрезок $MC$ будет иметь длину $\frac{BC}{2}$.

4. На произвольной прямой $l$ отложим от точки $P$ отрезок $PQ$, равный по длине высоте $AH$.

5. На той же прямой от точки $Q$ отложим в том же направлении отрезок $QR$, равный по длине отрезку $MC$.

6. Найдем середину $O$ отрезка $PR$ и построим на $PR$ как на диаметре полуокружность.

7. В точке $Q$ восстановим перпендикуляр к прямой $PR$. Точку пересечения этого перпендикуляра с полуокружностью обозначим $S$.

8. Отрезок $QS$ является искомой стороной квадрата. Обозначим его длину как $a$.

9. Построим квадрат на отрезке $QS$. Для этого построим перпендикуляры к $QS$ в точках $Q$ и $S$ и отложим на них отрезки, равные $QS$. Соединив концы, получим искомый квадрат.

На рисунке ниже показаны все этапы построения:

Доказательство

Площадь исходного треугольника $ABC$ равна $S_{ABC} = \frac{1}{2} BC \cdot AH$. В нашем построении мы использовали отрезки $h = AH$ и $\frac{b}{2} = MC$.

Рассмотрим треугольник $PSR$. Угол $\angle PSR$ является вписанным в окружность и опирается на диаметр $PR$, следовательно, $\angle PSR = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $PSR$ — прямоугольный.

Отрезок $QS$ является высотой этого прямоугольного треугольника, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу. По теореме о высоте в прямоугольном треугольнике, квадрат высоты равен произведению проекций катетов на гипотенузу: $QS^2 = PQ \cdot QR$.

По построению, $PQ = AH = h$ и $QR = MC = \frac{BC}{2} = \frac{b}{2}$. Подставляя эти значения, получаем: $QS^2 = AH \cdot MC = h \cdot \frac{b}{2} = \frac{1}{2}bh$.

Площадь квадрата, построенного на стороне $a=QS$, равна $a^2 = QS^2$. Таким образом, $S_{\text{кв}} = a^2 = \frac{1}{2}bh$.

Это доказывает, что площадь построенного квадрата в точности равна площади исходного треугольника.

Ответ: Искомый квадрат строится на стороне $a$, которая является средним геометрическим высоты треугольника $h$ и половины его основания $\frac{b}{2}$. Построение стороны $a$ и самого квадрата описано выше.

4.143. Квадрат со стороной, равной 8 см, разрезали так, как показано на рисунке 4.40, и составили прямоугольник (рис. 4.41). Почему площадь полученного прямоугольника не равна площади квадрата?

Рис. 4.40

Рис. 4.41

Эта задача представляет собой известный геометрический парадокс, основанный на оптической иллюзии. Площадь полученной фигуры не равна площади квадрата, потому что эта фигура, хоть и очень похожа на прямоугольник, на самом деле им не является.

Для начала проведем расчеты, чтобы увидеть несоответствие в площадях.

1. Площадь квадрата

Исходная фигура — это квадрат со стороной 8 см. Его площадь равна:

$S_{квадрата} = 8 \text{ см} \times 8 \text{ см} = 64 \text{ см}^2$

2. Площадь "прямоугольника"

После разрезания и перестановки частей, как показано на рисунках (хотя рисунки являются схематичными), в классической версии этого парадокса образуется фигура, очень похожая на прямоугольник со сторонами 5 см и 13 см. Вычислим её площадь:

$S_{прямоугольника} = 5 \text{ см} \times 13 \text{ см} = 65 \text{ см}^2$

Как мы видим, площадь полученной фигуры на 1 см² больше площади исходного квадрата.

3. Объяснение парадокса

Секрет кроется в том, что части квадрата не стыкуются идеально, чтобы образовать прямоугольник. Длинная сторона собранной фигуры, которая выглядит как прямая линия (гипотенуза), на самом деле имеет небольшой излом. Это происходит потому, что угловые коэффициенты (тангенсы углов наклона) наклонных сторон у разных частей не совпадают.

В данной задаче используются числа, являющиеся частью последовательности Фибоначчи: 3, 5, 8, 13. Разрежем квадрат 8x8 на две трапеции и два треугольника. При сборке их в "прямоугольник" 13x5 его длинная "диагональ" составляется из наклонных сторон треугольника и трапеции.

• Угловой коэффициент наклонной стороны одного элемента (треугольника) равен $k_1 = \frac{3}{8}$.
• Угловой коэффициент наклонной стороны другого элемента (трапеции) равен $k_2 = \frac{2}{5}$.

Сравним эти два значения:

$k_1 = \frac{3}{8} = 0.375$

$k_2 = \frac{2}{5} = 0.4$

Поскольку $k_1 \neq k_2$, эти отрезки не могут лежать на одной прямой. Так как $0.4 > 0.375$, линия "диагонали" на самом деле немного выгибается наружу. Этот излом создает очень узкую, почти незаметную щель в форме параллелограмма вдоль всей "диагонали".

Ниже представлены схематичные изображения из условия задачи, преобразованные в формат SVG.

Площадь этого незаметного зазора и составляет "пропавший" 1 см². То есть, сумма площадей четырех частей равна 64 см², а площадь фигуры, в которую они собраны, равна сумме их площадей плюс площадь зазора: $64 \text{ см}^2 + 1 \text{ см}^2 = 65 \text{ см}^2$.

Ответ: Площадь полученной фигуры не равна площади квадрата, потому что она не является настоящим прямоугольником. Из-за разного наклона сторон составных частей при их соединении образуется почти незаметный зазор в виде узкого параллелограмма, площадь которого и составляет разницу в 1 см².