Страница 162 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

16. Что такое треугольник? Какие виды треугольника вы знаете? Из каких элементов они состоят?

Что такое треугольник?

Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (эти точки называются вершинами), и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки (эти отрезки называются сторонами). Треугольник является простейшим многоугольником и образует часть плоскости, ограниченную его сторонами. Сумма внутренних углов любого треугольника всегда равна $180^\circ$.

Ответ: Треугольник — это многоугольник с тремя вершинами, тремя сторонами и тремя углами.

Какие виды треугольника вы знаете?

Треугольники можно классифицировать по двум основным признакам: по соотношению длин их сторон и по величине их внутренних углов.

Классификация по длине сторон:
• Равносторонний треугольник (или правильный) — это треугольник, у которого все три стороны равны. В таком треугольнике все углы также равны и составляют $60^\circ$.

• Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого как минимум две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья — основанием. Углы при основании равнобедренного треугольника равны между собой.

• Разносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину. Следовательно, все его углы также имеют разную величину.

Классификация по величине углов:
• Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все три угла острые (то есть меньше $90^\circ$).

• Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов прямой (равен $90^\circ$). Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие — катетами.

• Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов тупой (то есть больше $90^\circ$).

Ответ: Треугольники бывают равносторонние, равнобедренные и разносторонние (классификация по сторонам), а также остроугольные, прямоугольные и тупоугольные (классификация по углам).

Из каких элементов они состоят?

Основные (или определяющие) элементы любого треугольника — это его вершины, стороны и углы. Рассмотрим их на примере треугольника $ABC$.

• Вершины (на рисунке обозначены синим) — это три точки, которые определяют положение треугольника. Обычно их обозначают заглавными латинскими буквами (например, $A$, $B$, $C$).
• Стороны (на рисунке обозначены красным) — это три отрезка, соединяющие вершины. Стороны обозначают либо двумя заглавными буквами вершин ($AB, BC, AC$), либо одной строчной латинской буквой, соответствующей противоположной вершине (на рисунке это стороны $a, b, c$).
• Углы (на рисунке обозначены зеленым) — это три внутренних угла, образованных сторонами при вершинах. Углы обозначают либо символом угла и буквой вершины ($\angle A, \angle B, \angle C$), либо греческими буквами ($\alpha, \beta, \gamma$).

Ответ: Треугольники состоят из трех вершин, трех сторон и трех углов.

17. Что такое медиана, биссектриса и высота треугольника?

В геометрии медиана, биссектриса и высота являются тремя основными отрезками, которые можно провести внутри треугольника из его вершин. Каждый из этих отрезков обладает уникальными свойствами и определением.

Медиана

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

На рисунке изображен треугольник $ABC$. Отрезок $AM$ является медианой, проведенной из вершины $A$ к стороне $BC$. Точка $M$ — середина стороны $BC$, поэтому выполняется равенство $BM = MC$.

Свойства медианы:
1. Каждый треугольник имеет три медианы, по одной из каждой вершины.
2. Все три медианы пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.
3. Точка пересечения делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины.
4. Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади (равновеликих).

Ответ: Медиана — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса

Биссектриса угла треугольника — это отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне. Биссектриса делит угол, из которого она проведена, на два равных угла.

На рисунке изображен треугольник $ABC$. Отрезок $AL$ является биссектрисой угла $A$. Он делит угол $BAC$ на два равных угла: $\angle BAL = \angle CAL$.

Свойства биссектрисы:
1. Каждый треугольник имеет три биссектрисы.
2. Все три биссектрисы пересекаются в одной точке, которая называется инцентром и является центром вписанной в треугольник окружности.
3. Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника (свойство биссектрисы): $ \frac{AB}{AC} = \frac{BL}{LC} $.

Ответ: Биссектриса — это отрезок, выходящий из вершины угла и делящий этот угол пополам, соединяющий вершину с противоположной стороной.

Высота

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону.

На левом рисунке изображен остроугольный треугольник $ABC$, где высота $AH$, проведенная из вершины $A$, падает на сторону $BC$. Основание высоты $H$ лежит на отрезке $BC$. Угол $AHC$ — прямой ($\angle AHC = 90^\circ$).
На правом рисунке показан тупоугольный треугольник $ABC$ (угол $BCA$ — тупой). Высота $AH$, проведенная из вершины $A$, падает на продолжение стороны $BC$.

Свойства высоты:
1. Каждый треугольник имеет три высоты.
2. В остроугольном треугольнике все три высоты пересекаются внутри треугольника. В тупоугольном треугольнике — вне его. В прямоугольном треугольнике — в вершине прямого угла.
3. Прямые, содержащие три высоты треугольника, пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром.
4. В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами друг для друга.

Ответ: Высота — это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, на которой лежит противоположная сторона.

18. Докажите теорему о сумме внутренних углов треугольника.

Теорема: Сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$.

Доказательство:

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Обозначим его внутренние углы греческими буквами: $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$, $\angle C = \gamma$. Требуется доказать, что $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

1. Через вершину $B$ проведем прямую $DE$, параллельную стороне $AC$.

2. Угол $\angle DBE$ является развернутым, его величина составляет $180^\circ$. Этот угол состоит из трех углов: $\angle DBA$, $\angle ABC$ (угол $\beta$) и $\angle CBE$. Таким образом, мы можем записать: $\angle DBA + \beta + \angle CBE = 180^\circ$.

3. Прямые $DE$ и $AC$ параллельны, а прямая $AB$ является для них секущей. Углы $\angle DBA$ и $\angle BAC$ (угол $\alpha$) — это внутренние накрест лежащие углы. По свойству параллельных прямых, такие углы равны: $\angle DBA = \alpha$.

4. Аналогично, прямые $DE$ и $AC$ параллельны, а прямая $BC$ является для них секущей. Углы $\angle CBE$ и $\angle BCA$ (угол $\gamma$) также являются внутренними накрест лежащими. Следовательно, они равны: $\angle CBE = \gamma$.

5. Теперь подставим полученные равенства в выражение из пункта 2. Заменив $\angle DBA$ на $\alpha$ и $\angle CBE$ на $\gamma$, получим: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

Таким образом, доказано, что сумма внутренних углов треугольника равна $180^\circ$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма внутренних углов треугольника равна $180^\circ$.

19. Назовите признаки равенства треугольников. Докажите их.

Признаки равенства треугольников — это теоремы, позволяющие установить равенство (конгруэнтность) двух треугольников на основе равенства трех их соответствующих элементов. Существует три основных признака равенства.

Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.
Рассмотрим два треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых стороны $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$ и угол между ними $\angle A = \angle A_1$. Докажем, что $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Для доказательства используем метод наложения. Наложим $\triangle ABC$ на $\triangle A_1B_1C_1$ так, чтобы вершина $A$ совпала с вершиной $A_1$, а луч $AB$ совпал с лучом $A_1B_1$.
Так как $\angle A = \angle A_1$, то луч $AC$ также совпадет с лучом $A_1C_1$.
Поскольку $AB = A_1B_1$, то вершина $B$ совпадет с вершиной $B_1$.
Поскольку $AC = A_1C_1$, то вершина $C$ совпадет с вершиной $C_1$.
Следовательно, все три вершины треугольника $ABC$ совпали с соответствующими вершинами треугольника $A_1B_1C_1$. Это означает, что сторона $BC$ совпала со стороной $B_1C_1$. Треугольники полностью совпали, следовательно, они равны. Теорема доказана.
Ответ: Первый признак равенства треугольников гласит, что если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам)

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.
Рассмотрим два треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых сторона $AB = A_1B_1$ и прилежащие к ней углы $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$. Докажем, что $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Наложим $\triangle ABC$ на $\triangle A_1B_1C_1$ так, чтобы сторона $AB$ совпала со стороной $A_1B_1$ (вершина $A$ с $A_1$, а $B$ с $B_1$). Это возможно, так как $AB = A_1B_1$.
Поскольку $\angle A = \angle A_1$, луч $AC$ пойдет по лучу $A_1C_1$.
Поскольку $\angle B = \angle B_1$, луч $BC$ пойдет по лучу $B_1C_1$.
Вершина $C$ — это точка пересечения лучей $AC$ и $BC$. Вершина $C_1$ — точка пересечения лучей $A_1C_1$ и $B_1C_1$. Так как соответствующие лучи совпали, то и их точки пересечения $C$ и $C_1$ совпадут.
Таким образом, треугольники полностью совпали, а значит, они равны. Теорема доказана.
Ответ: Второй признак равенства треугольников гласит, что если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников (по трем сторонам)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.
Рассмотрим два треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$ и $AC = A_1C_1$. Докажем, что $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Приложим $\triangle A_1B_1C_1$ к $\triangle ABC$ так, чтобы их равные стороны $A_1C_1$ и $AC$ совпали, а вершины $B$ и $B_1$ оказались по разные стороны от прямой $AC$.
Рассмотрим треугольник $ABB_1$. Так как по условию $AB=A_1B_1$, то он является равнобедренным с основанием $BB_1$. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $\angle ABB_1 = \angle AB_1B$.
Аналогично, в треугольнике $CBB_1$ стороны $BC=B_1C$, значит, он тоже равнобедренный с основанием $BB_1$, и $\angle CBB_1 = \angle CB_1B$.
Тогда угол $\angle ABC = \angle ABB_1 + \angle CBB_1$, а угол $\angle A_1B_1C_1 = \angle AB_1C = \angle AB_1B + \angle CB_1B$. Из этих равенств следует, что $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$.
Теперь мы имеем, что в треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ стороны $AB=A_1B_1$, $BC=B_1C_1$ и угол между ними $\angle B = \angle B_1$. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников, $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$. Теорема доказана.
Ответ: Третий признак равенства треугольников гласит, что если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

20. Что такое прямоугольный треугольник? Какие его свойства вы знаете?

Что такое прямоугольный треугольник?

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов прямой, то есть равен $90^\circ$.

На рисунке показан треугольник ABC с прямым углом C.
Стороны, образующие прямой угол (BC и AC), называются катетами (на рисунке это стороны $a$ и $b$ соответственно).
Сторона, лежащая напротив прямого угла (AB), называется гипотенузой (на рисунке это сторона $c$). Гипотенуза всегда длиннее любого из катетов.

Ответ: Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол равен $90^\circ$. Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, — гипотенузой.

Какие его свойства вы знаете?

Основные свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$. Если острые углы обозначить как $\alpha$ и $\beta$, то $\alpha + \beta = 90^\circ$.

2. Теорема Пифагора. Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Если $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза, то $a^2 + b^2 = c^2$.

3. Свойство угла в $30^\circ$. Катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Если в прямоугольном треугольнике есть угол $30^\circ$, то противолежащий ему катет равен $\frac{c}{2}$.

4. Медиана к гипотенузе. Медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы, а радиус этой окружности $R$ равен $R = \frac{c}{2}$.

5. Площадь. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2}ab$. Также ее можно найти как половину произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней: $S = \frac{1}{2}ch_c$.

6. Высота к гипотенузе. Высота $h_c$, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два треугольника, которые подобны исходному и подобны друг другу. Длина этой высоты может быть вычислена через катеты и гипотенузу: $h_c = \frac{ab}{c}$. Высота является средним геометрическим между проекциями катетов на гипотенузу ($a_c$ и $b_c$): $h_c^2 = a_c \cdot b_c$. Каждый катет является средним геометрическим между гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу: $a^2 = c \cdot a_c$ и $b^2 = c \cdot b_c$.

7. Тригонометрические соотношения. Для острого угла $\alpha$ (например, угла A), противолежащего катету $a$ и прилежащего к катету $b$:
— Синус: $\sin \alpha = \frac{a}{c}$ (отношение противолежащего катета к гипотенузе).
— Косинус: $\cos \alpha = \frac{b}{c}$ (отношение прилежащего катета к гипотенузе).
— Тангенс: $\tan \alpha = \frac{a}{b}$ (отношение противолежащего катета к прилежащему).

8. Радиус вписанной окружности. Радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле $r = \frac{a+b-c}{2}$.

Ответ: Свойства прямоугольного треугольника включают: сумма острых углов равна $90^\circ$; теорема Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$); катет против угла $30^\circ$ равен половине гипотенузы; медиана к гипотенузе равна ее половине; площадь равна половине произведения катетов; а также специфические тригонометрические соотношения и формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей.

21. Докажите признаки равенства прямоугольных треугольников.

Прямоугольные треугольники являются частным случаем обычных треугольников, поэтому для них справедливы все три признака равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними; по стороне и двум прилежащим углам; по трем сторонам). Однако для прямоугольных треугольников, у которых один угол всегда прямой ($90^\circ$), можно сформулировать более простые признаки равенства, которые являются следствиями общих признаков.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, $\triangle ABC$ с прямым углом $C$ ($\angle C = 90^\circ$) и $\triangle A_1B_1C_1$ с прямым углом $C_1$ ($\angle C_1 = 90^\circ$). Стороны $AC$ и $BC$ — катеты, $AB$ — гипотенуза.

По двум катетам

Формулировка: Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

Доказательство:
Пусть в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ катет $AC$ равен катету $A_1C_1$, а катет $BC$ равен катету $B_1C_1$.
Поскольку треугольники прямоугольные, то углы между этими катетами равны: $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$.
Таким образом, мы имеем две стороны и угол между ними одного треугольника, которые соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) следует, что $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Если два катета одного прямоугольного треугольника равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники равны.

По катету и прилежащему острому углу

Формулировка: Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

Доказательство:
Пусть в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ катет $AC$ равен катету $A_1C_1$, а прилежащий к нему острый угол $\angle A$ равен углу $\angle A_1$.
Угол $\angle C$ является прилежащим к катету $AC$, и $\angle C = 90^\circ$. Аналогично, $\angle C_1$ прилежит к катету $A_1C_1$ и $\angle C_1 = 90^\circ$.
Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($AC$, $\angle A$, $\angle C$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($A_1C_1$, $\angle A_1$, $\angle C_1$). По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам) следует, что $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$. Что и требовалось доказать.

Замечание: Признак также верен, если даны катет и противолежащий ему острый угол (например, катет $AC$ и угол $\angle B$). Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, то $\angle A = 90^\circ - \angle B$. Если $\angle B = \angle B_1$, то и $\angle A = \angle A_1$. Задача сводится к доказанному выше признаку.

Ответ: Если катет и прилежащий (или противолежащий) к нему острый угол одного прямоугольного треугольника равны катету и соответствующему острому углу другого, то такие треугольники равны.

По гипотенузе и острому углу

Формулировка: Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Доказательство:
Пусть в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ гипотенуза $AB$ равна гипотенузе $A_1B_1$, и острый угол $\angle A$ равен углу $\angle A_1$.
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Так как $\angle C = 90^\circ$, то сумма острых углов $\angle A + \angle B = 90^\circ$. Отсюда $\angle B = 90^\circ - \angle A$.
Аналогично, в $\triangle A_1B_1C_1$ имеем $\angle B_1 = 90^\circ - \angle A_1$.
Поскольку по условию $\angle A = \angle A_1$, то и $\angle B = \angle B_1$.
Теперь мы имеем, что сторона $AB$ и прилежащие к ней углы $\angle A$ и $\angle B$ в $\triangle ABC$ соответственно равны стороне $A_1B_1$ и прилежащим к ней углам $\angle A_1$ и $\angle B_1$ в $\triangle A_1B_1C_1$. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам) следует, что $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

По гипотенузе и катету

Формулировка: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Доказательство:
Пусть в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ гипотенуза $AB$ равна гипотенузе $A_1B_1$, а катет $AC$ равен катету $A_1C_1$.
Приложим треугольник $\triangle A_1B_1C_1$ к треугольнику $\triangle ABC$ так, чтобы вершина $A_1$ совпала с $A$, вершина $C_1$ с $C$, а вершины $B$ и $B_1$ оказались по разные стороны от прямой $AC$.
Так как $\angle ACB = 90^\circ$ и $\angle A_1C_1B_1 = \angle ACB_1 = 90^\circ$, то угол $\angle BCB_1 = \angle ACB + \angle ACB_1 = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это означает, что точки $B, C, B_1$ лежат на одной прямой.
Рассмотрим получившийся треугольник $\triangle ABB_1$. По построению $AB = A_1B_1 = AB_1$. Следовательно, $\triangle ABB_1$ — равнобедренный с основанием $BB_1$.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle B = \angle B_1$.
Теперь вернемся к исходным треугольникам $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Мы имеем, что у них равны гипотенузы ($AB=A_1B_1$) и по одному острому углу ($\angle B = \angle B_1$). По признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу (доказанному выше) следует, что $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

22. Что такое перпендикуляр, секущая, проекция? Какие их свойства вы знаете?

Перпендикуляр

Перпендикуляр, опущенный из данной точки на данную прямую, — это отрезок, соединяющий эту точку с точкой на прямой и образующий с ней прямой угол ($90^\circ$). Точка пересечения перпендикуляра с прямой называется основанием перпендикуляра. Две прямые (или отрезки) называются перпендикулярными, если угол между ними равен $90^\circ$. Обозначается символом $\perp$, например, $AH \perp a$.

Основные свойства перпендикуляра:
1. Из точки, не лежащей на прямой, можно провести к этой прямой только один перпендикуляр.
2. Длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, является кратчайшим расстоянием от этой точки до данной прямой.
3. Две прямые, перпендикулярные одной и той же третьей прямой, параллельны между собой.

Ответ: Перпендикуляр — это отрезок, проведенный из точки к прямой под прямым углом ($90^\circ$). Его длина является наименьшим расстоянием от точки до прямой.

Секущая (в данном контексте — наклонная)

Наклонная, проведенная из данной точки к данной прямой, — это любой отрезок, который соединяет данную точку с точкой на прямой и не является перпендикуляром. На рисунке выше отрезок $AM$ является наклонной, проведенной из точки $A$ к прямой $a$.

Основные свойства наклонной:
1. Любая наклонная, проведенная из точки к прямой, длиннее перпендикуляра, проведенного из той же точки к той же прямой ($AM > AH$).
2. Из двух наклонных, проведенных из одной точки к прямой, больше та, у которой проекция на эту прямую длиннее.
3. Если две наклонные, проведенные из одной точки к прямой, равны, то равны и их проекции. Верно и обратное: если проекции двух наклонных равны, то равны и сами наклонные.

Ответ: Наклонная (или секущая в этом контексте) — это отрезок, соединяющий точку, не лежащую на прямой, с точкой на прямой, и не перпендикулярный этой прямой.

Проекция

Проекция точки на прямую — это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Ортогональной проекцией наклонной на прямую называется отрезок, соединяющий основание перпендикуляра и основание наклонной. На рисунке выше отрезок $HM$ — это проекция наклонной $AM$ на прямую $a$.

Основные свойства проекции:
1. Длина проекции связана с длиной наклонной и перпендикуляра по теореме Пифагора. Для прямоугольного треугольника $AHM$: $AM^2 = AH^2 + HM^2$. Отсюда длина проекции $HM = \sqrt{AM^2 - AH^2}$.
2. Проекция перпендикуляра на прямую является точкой (его основанием).
3. Чем длиннее наклонная (проведенная из той же точки), тем длиннее ее проекция.

Ответ: Проекция наклонной на прямую — это отрезок на этой прямой, заключенный между основанием перпендикуляра и основанием наклонной, проведенных из одной и той же точки.

23. Какая длина отрезка принимается в качестве расстояния от точки до прямой?

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к прямой.

Рассмотрим прямую a и точку M, не лежащую на этой прямой. Из точки M можно провести к прямой a множество отрезков, соединяющих точку M с точками на прямой a.

Отрезок MH, проведенный из точки M к прямой a и перпендикулярный ей, называется перпендикуляром. Точка H называется основанием перпендикуляра.

Любой другой отрезок, соединяющий точку M с какой-либо точкой K на прямой a (отличной от H), называется наклонной.

Перпендикуляр MH является катетом в прямоугольном треугольнике $\triangle MHK$, а наклонная MK — его гипотенузой. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее любого из катетов. Следовательно, для любой точки K на прямой a, не совпадающей с H, выполняется неравенство $MK > MH$.

Это означает, что перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, короче любой наклонной, проведенной из той же точки к этой прямой. Поэтому именно длина перпендикуляра принимается за расстояние от точки до прямой, так как это наименьшее из всех возможных расстояний.

Ответ: В качестве расстояния от точки до прямой принимается длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

24. Как можно построить треугольник по трем сторонам, двум сторонам и углу между ними, стороне и прилежащим к ней двум углам?

Для построения треугольника с помощью циркуля и линейки (без делений) используются три основных признака равенства треугольников. Ниже приведено пошаговое описание каждого из трёх методов построения.

Построение треугольника по трем сторонам

Пусть даны три отрезка, длины которых равны $a$, $b$ и $c$. Необходимо построить треугольник со сторонами, равными этим отрезкам. Построение возможно только в том случае, если выполняется неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны ($a+b > c$, $a+c > b$, $b+c > a$).

План построения:
1. С помощью линейки проводим произвольную прямую и отмечаем на ней точку А.
2. С помощью циркуля измеряем длину стороны $c$ и откладываем ее от точки А на прямой, получая точку В. Отрезок АВ является первой стороной будущего треугольника.
3. Измеряем циркулем длину стороны $b$. Ставим острие циркуля в точку А и проводим дугу окружности радиусом $b$.
4. Измеряем циркулем длину стороны $a$. Ставим острие циркуля в точку В и проводим дугу окружности радиусом $a$ так, чтобы она пересекла первую дугу.
5. Точку пересечения дуг обозначаем буквой С. Эта точка будет третьей вершиной треугольника.
6. Соединяем точки А, В и С отрезками. Полученный треугольник АВС является искомым.

Ответ: Чтобы построить треугольник по трем сторонам $a, b, c$, нужно отложить одну из сторон (например, $c$) на прямой, а затем из ее концов провести дуги окружностей радиусами, равными двум другим сторонам ($a$ и $b$). Точка пересечения дуг будет третьей вершиной треугольника.

Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть даны два отрезка длиной $a$ и $b$ и угол $\gamma$, заключенный между ними. Необходимо построить треугольник с этими элементами.

План построения:
1. Проводим произвольный луч с началом в точке С.
2. От луча в точке С откладываем угол, равный данному углу $\gamma$. Для этого проводим дугу произвольного радиуса с центром в вершине данного угла, а затем такую же дугу с центром в точке С. Измеряем циркулем расстояние между точками пересечения дуги со сторонами данного угла и откладываем это расстояние на дуге, проведенной из точки С. Через точку С и полученную точку проводим второй луч.
3. На одном из лучей от точки С откладываем отрезок, равный стороне $a$, и получаем точку В.
4. На втором луче от точки С откладываем отрезок, равный стороне $b$, и получаем точку А.
5. Соединяем точки А и В отрезком. Полученный треугольник АВС является искомым.

Ответ: Чтобы построить треугольник по двум сторонам и углу между ними, нужно построить данный угол, а затем на его сторонах от вершины отложить отрезки, равные данным сторонам. Концы этих отрезков будут двумя другими вершинами треугольника.

Построение треугольника по стороне и прилежащим к ней двум углам

Пусть дан отрезок длиной $c$ и два угла $\alpha$ и $\beta$, прилежащие к этой стороне. Необходимо построить треугольник. Построение возможно, если сумма данных углов меньше 180° ($\alpha + \beta < 180^\circ$).

План построения:
1. Проводим прямую и откладываем на ней отрезок АВ, равный данной стороне $c$.
2. От луча АВ в точке А откладываем угол, равный углу $\alpha$ (построение угла описано в предыдущем пункте). Проводим луч из точки А.
3. От луча ВА в точке В откладываем угол, равный углу $\beta$. Проводим луч из точки В.
4. Точка пересечения построенных лучей является третьей вершиной треугольника. Обозначаем ее С.
5. Полученный треугольник АВС является искомым.

Ответ: Чтобы построить треугольник по стороне и двум прилежащим углам, нужно построить отрезок, равный данной стороне, а затем от его концов построить два луча под заданными углами. Точка пересечения этих лучей будет третьей вершиной треугольника.

25. Как построить угол, равный данному углу?

Для построения угла, равного данному, с помощью циркуля и линейки без делений, необходимо выполнить следующий алгоритм. Этот метод основан на построении треугольника, равного другому треугольнику по трем сторонам.

Пусть нам дан некоторый угол с вершиной в точке $A$ и луч с началом в точке $O$.

Алгоритм построения:

1. С центром в вершине данного угла $A$ проводим окружность (или дугу) произвольного радиуса $r$. Она пересечет стороны угла в двух точках, назовем их $B$ и $C$.
2. С центром в начальной точке луча $O$ проводим дугу того же радиуса $r$. Она пересечет луч в точке, которую назовем $B_1$.
3. Измеряем циркулем расстояние между точками $B$ и $C$ (длину хорды $BC$).
4. Не меняя раствора циркуля, устанавливаем его острие в точку $B_1$ и проводим дугу так, чтобы она пересекла дугу, построенную в шаге 2. Точку пересечения дуг назовем $C_1$.
5. С помощью линейки проводим луч из точки $O$ через точку $C_1$.

Полученный в результате этих построений угол $\angle B_1OC_1$ будет равен данному углу $\angle BAC$.

Доказательство корректности:

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle OB_1C_1$.

По построению:

• Стороны $AB$ и $AC$ являются радиусами первой дуги, т.е. $AB = AC = r$.
• Стороны $OB_1$ и $OC_1$ являются радиусами второй дуги, построенной тем же радиусом $r$, т.е. $OB_1 = OC_1 = r$.
• Следовательно, $AB = AC = OB_1 = OC_1$.
• На шаге 4 мы отложили от точки $B_1$ расстояние, равное длине хорды $BC$, чтобы найти точку $C_1$. Таким образом, $B_1C_1 = BC$.

Поскольку три стороны одного треугольника ($\triangle ABC$) соответственно равны трем сторонам другого треугольника ($\triangle OB_1C_1$), эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников (SSS). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, а значит, $\angle BAC = \angle B_1OC_1$. Построение выполнено верно.

Ответ: Описанный выше алгоритм, состоящий из 5 шагов, позволяет построить угол, равный данному, с использованием только циркуля и линейки.

26. Как строится биссектриса угла?

Биссектриса угла — это луч, который исходит из вершины угла и делит его на два равных по величине угла. Классическое построение биссектрисы выполняется с помощью циркуля и линейки (без делений).

Ниже представлен пошаговый алгоритм построения.

Шаг 1. Проведение первой дуги

Пусть дан угол с вершиной в точке $O$. Устанавливаем острие циркуля в вершину $O$ и проводим дугу произвольного радиуса $R$. Эта дуга пересечет стороны угла в двух точках, которые мы назовем $A$ и $B$.

Шаг 2. Нахождение точки пересечения

Из точек $A$ и $B$, как из центров, проводим две новые дуги одинакового радиуса $r$. Важно, чтобы этот радиус был одинаковым для обеих дуг и достаточным для их пересечения (то есть $r > \frac{1}{2}AB$). Для удобства можно использовать тот же радиус, что и на первом шаге ($r=R$). Дуги пересекутся в точке внутри угла, которую мы обозначим $C$.

Шаг 3. Построение биссектрисы

С помощью линейки соединяем вершину угла $O$ с точкой пересечения дуг $C$. Полученный луч $OC$ и есть искомая биссектриса угла $\angle AOB$.

Доказательство корректности построения

Чтобы доказать, что луч $OC$ действительно является биссектрисой, рассмотрим два треугольника, которые образуются в результате построений: $\triangle OAC$ и $\triangle OBC$.

Во-первых, сторона $OA$ равна стороне $OB$, так как обе точки $A$ и $B$ были получены при помощи дуги одного и того же радиуса $R$, проведенной из центра $O$.

Во-вторых, сторона $AC$ равна стороне $BC$, так как точки $A$ и $B$ были центрами дуг одинакового радиуса $r$, при пересечении которых была получена точка $C$.

В-третьих, сторона $OC$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, треугольники $\triangle OAC$ и $\triangle OBC$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, а именно $\angle AOC = \angle BOC$. Это по определению означает, что луч $OC$ делит угол $\angle AOB$ пополам, то есть является его биссектрисой.

Ответ: Для построения биссектрисы угла с помощью циркуля и линейки необходимо выполнить следующую последовательность действий: 1) из вершины угла провести дугу, пересекающую его стороны в двух точках (A и B); 2) из полученных точек A и B провести две дуги одинакового радиуса так, чтобы они пересеклись внутри угла (в точке C); 3) соединить вершину угла с точкой пересечения C. Полученный луч и будет биссектрисой.

27. Как находится середина отрезка?

Середина отрезка — это точка, которая лежит на этом отрезке и находится на равном расстоянии от его концов, то есть делит отрезок на две равные части. Способ нахождения середины отрезка зависит от того, как задан сам отрезок: координатами его концов или в виде геометрического чертежа.

Аналитический способ (в координатах)

Если отрезок задан координатами своих конечных точек, то координаты его середины вычисляются как среднее арифметическое (полусумма) соответствующих координат концов.

• На числовой прямой (в одном измерении):

  Пусть отрезок задан точками $A(x_A)$ и $B(x_B)$. Координата его середины $C(x_C)$ находится по формуле:

  $x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

  Пример: Для отрезка с концами в точках A(-2) и B(8) середина будет в точке C с координатой $x_C = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

• На координатной плоскости (в двух измерениях):

  Пусть отрезок задан точками $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$. Координаты его середины $C(x_C, y_C)$ находятся по формулам:

  $x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

  $y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$

  Пример: Для отрезка с концами в точках A(1, 5) и B(7, -1) середина будет в точке C с координатами $x_C = \frac{1 + 7}{2} = 4$ и $y_C = \frac{5 + (-1)}{2} = 2$. То есть, C(4, 2).

• В пространстве (в трех измерениях):

  Пусть отрезок задан точками $A(x_A, y_A, z_A)$ и $B(x_B, y_B, z_B)$. Координаты его середины $C(x_C, y_C, z_C)$ находятся аналогично:

  $x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

  $y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$

  $z_C = \frac{z_A + z_B}{2}$

Ответ: Координаты середины отрезка равны полусуммам соответствующих координат его концов.

Геометрический способ (построение с помощью циркуля и линейки)

Если отрезок задан на плоскости в виде чертежа, его середину можно найти с помощью классического построения.

Для этого необходимо выполнить следующие шаги:

1. Установить раствор циркуля на радиус, который заведомо больше половины длины данного отрезка AB.
2. Поставить иглу циркуля в точку A и провести дугу окружности.
3. Не меняя раствора циркуля, поставить его иглу в точку B и провести вторую дугу так, чтобы она пересекла первую в двух точках (назовем их P и Q).
4. С помощью линейки соединить точки пересечения дуг P и Q прямой линией.
5. Точка C, в которой построенная прямая PQ пересекает исходный отрезок AB, и является его серединой. Эта прямая PQ называется серединным перпендикуляром к отрезку AB.

Ответ: Середина отрезка находится в точке пересечения данного отрезка и его серединного перпендикуляра, который строится с помощью циркуля и линейки.

28. Как построить перпендикуляр, опущенный из данной точки к прямой?

Задача построения перпендикуляра из данной точки к прямой, используя циркуль и линейку, решается по-разному в зависимости от того, лежит ли точка на прямой или нет. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Точка не лежит на прямой

Пусть дана прямая $l$ и точка $P$, не принадлежащая этой прямой. Требуется построить прямую, проходящую через точку $P$ и перпендикулярную прямой $l$.

Алгоритм построения:

1. Установите острие циркуля в точку $P$. Выберите такой радиус, чтобы дуга, проведенная из точки $P$, пересекла прямую $l$ в двух различных точках. Обозначим эти точки пересечения как $A$ и $B$.

2. Теперь из точек $A$ и $B$ как из центров проведите две дуги одинакового радиуса (радиус должен быть больше половины длины отрезка $AB$). Эти дуги должны пересечься в некоторой точке $Q$. Для удобства можно провести эти дуги с той стороны от прямой $l$, где не лежит точка $P$.

3. С помощью линейки соедините точки $P$ и $Q$. Прямая $PQ$ и будет искомым перпендикуляром.

Доказательство: По построению, точка $P$ равноудалена от точек $A$ и $B$ (так как $PA$ и $PB$ — радиусы одной дуги). Точка $Q$ также равноудалена от точек $A$ и $B$ (так как $QA$ и $QB$ — радиусы равных дуг). Любая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на его срединном перпендикуляре. Следовательно, прямая $PQ$ является срединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Поскольку точки $A$ и $B$ лежат на прямой $l$, то прямая $PQ$ перпендикулярна прямой $l$.

Ответ: Прямая, проходящая через точки $P$ и $Q$, является искомым перпендикуляром к прямой $l$, опущенным из точки $P$.

Случай 2: Точка лежит на прямой

Пусть дана прямая $l$ и точка $P$, принадлежащая этой прямой. Требуется построить прямую, проходящую через точку $P$ и перпендикулярную прямой $l$ (такую операцию также называют "восстановлением перпендикуляра").

Алгоритм построения:

1. Установите острие циркуля в точку $P$. Проведите дугу (или окружность) произвольного радиуса так, чтобы она пересекла прямую $l$ в двух точках. Обозначим эти точки как $A$ и $B$.

2. Из точек $A$ и $B$ как из центров проведите две дуги одинакового радиуса (этот радиус должен быть больше, чем расстояние $PA$). Эти дуги пересекутся в точке $Q$.

3. С помощью линейки соедините точки $P$ и $Q$. Прямая $PQ$ и будет искомым перпендикуляром.

Доказательство: По построению, точка $P$ является серединой отрезка $AB$ ($PA = PB$ как радиусы). Точка $Q$ равноудалена от точек $A$ и $B$ ($QA = QB$ как радиусы равных дуг). Следовательно, обе точки $P$ и $Q$ лежат на срединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Значит, прямая $PQ$ и есть срединный перпендикуляр к $AB$. А так как отрезок $AB$ лежит на прямой $l$, то прямая $PQ$ перпендикулярна прямой $l$.

Ответ: Прямая, проходящая через точки $P$ и $Q$, является искомым перпендикуляром к прямой $l$ в точке $P$.

29. Что такое серединный перпендикуляр отрезка? Как его построить?

Что такое серединный перпендикуляр отрезка?

Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, которая проходит через середину данного отрезка и перпендикулярна ему.
Рассмотрим отрезок $AB$. Пусть точка $M$ является его серединой (то есть $AM = MB$), а прямая $p$ проходит через точку $M$. Если прямая $p$ перпендикулярна отрезку $AB$ (то есть угол между ними равен $90^\circ$, что записывается как $p \perp AB$), то $p$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.
Важное свойство серединного перпендикуляра: каждая его точка равноудалена от концов отрезка. Это означает, что для любой точки $P$, лежащей на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$, выполняется равенство длин отрезков $PA = PB$. Это свойство настолько важно, что его часто используют как второе определение: серединный перпендикуляр — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от концов отрезка.
Ответ: Серединный перпендикуляр отрезка – это прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.

Как его построить?

Построение серединного перпендикуляра к отрезку является одной из классических задач на построение и выполняется с помощью циркуля и линейки (без делений). Пусть нам дан отрезок $AB$. Алгоритм построения следующий:
1. Установите острие циркуля в один из концов отрезка, например, в точку $A$.
2. Раствором циркуля (радиусом) $R$, который должен быть заведомо больше половины длины отрезка $AB$, проведите дугу окружности.
3. Не изменяя раствор циркуля, перенесите его острие в другой конец отрезка — точку $B$.
4. Проведите вторую дугу окружности тем же радиусом $R$ так, чтобы она пересекла первую дугу в двух точках. Назовем эти точки пересечения $P$ и $Q$.
5. С помощью линейки проведите прямую через полученные точки $P$ и $Q$.

Построенная прямая $PQ$ и будет искомым серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.

На рисунке изображен отрезок $AB$. Из его концов, точек $A$ и $B$, как из центров, проведены две дуги окружностей (синяя и красная) одинакового радиуса. Точки их пересечения — $P$ и $Q$. Прямая $PQ$ (зеленая пунктирная линия), проходящая через эти точки, является серединным перпендикуляром. Она пересекает отрезок $AB$ в его середине, точке $M$, под прямым углом.
Ответ: Чтобы построить серединный перпендикуляр, необходимо из концов отрезка провести две пересекающиеся дуги окружности одинакового радиуса (большего, чем половина отрезка). Прямая, проведенная через две точки пересечения этих дуг, и является серединным перпендикуляром.

30. Что такое окружность? Какие ее элементы вы знаете?

Что такое окружность?

Окружность — это геометрическая фигура на плоскости, состоящая из множества всех точек, равноудаленных от одной заданной точки. Эта точка называется центром окружности. Постоянное расстояние от центра до любой точки окружности называется ее радиусом.

Важно не путать окружность с кругом. Окружность — это только линия (граница), в то время как круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью, включая саму окружность.

Ответ: Окружность — это замкнутая плоская кривая, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от ее центра.

Какие ее элементы вы знаете?

К основным элементам окружности и связанным с ней понятиям относятся:

Центр — точка (на рисунке обозначена как O), от которой равноудалены все точки окружности.

Радиус ($r$) — отрезок, который соединяет центр окружности с любой точкой на самой окружности. Также этим термином называют и длину этого отрезка.

Хорда — отрезок, соединяющий две произвольные точки на окружности.

Диаметр ($d$) — это хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр является самой длинной хордой. Его длина всегда в два раза больше длины радиуса: $d = 2r$.

Дуга — любая часть окружности, заключенная между двумя ее точками.

Секущая — прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках.

Касательная — прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку, называемую точкой касания. Касательная всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

К важным характеристикам окружности также относится ее длина.

Длина окружности ($L$) — числовая характеристика, показывающая протяженность линии окружности. Вычисляется по формуле $L = 2\pi r$ или $L = \pi d$, где $\pi$ (пи) — математическая константа, примерно равная 3,14159.

Наглядное представление элементов окружности показано на рисунке ниже.

Ответ: Основные элементы окружности — это центр, радиус, диаметр, хорда и дуга. С окружностью также связаны прямые: касательная и секущая. Важнейшей характеристикой является длина окружности.

1. Какую фигуру называют многоугольником?

1. Многоугольником в геометрии называют фигуру на плоскости, ограниченную замкнутой ломаной линией. Эта фигура состоит из самой ломаной линии и части плоскости, которую она ограничивает.

Рассмотрим ключевые элементы и свойства многоугольника:

• Вершины — это точки, в которых соединяются звенья ломаной линии. На рисунке ниже это точки $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$.
• Стороны — это отрезки, из которых состоит ломаная линия. Например, отрезки $A_1A_2$, $A_2A_3$ и так далее.
• Углы — это внутренние углы, образованные двумя смежными сторонами в каждой вершине.

Многоугольник с $n$ вершинами (и, соответственно, $n$ сторонами) называется $n$-угольником. Например, треугольник — это 3-угольник, четырёхугольник — 4-угольник.

Существует несколько видов многоугольников:

Простые многоугольники — это многоугольники, стороны которых не пересекаются, кроме как в вершинах. Они, в свою очередь, делятся на:

• Выпуклые многоугольники. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Проще говоря, все его внутренние углы меньше 180°.
  Пример выпуклого пятиугольника:
  
• Невыпуклые (вогнутые) многоугольники. Это многоугольники, у которых хотя бы один внутренний угол больше 180°. Существует хотя бы одна сторона, при продлении которой многоугольник оказывается по обе стороны от этой прямой.
  Пример невыпуклого многоугольника:
  

Сложные (самопересекающиеся или звёздчатые) многоугольники — это многоугольники, у которых есть пересечения сторон не в вершинах. Классическим примером является пентаграмма (пятиконечная звезда).

Пример самопересекающегося многоугольника:

В школьном курсе геометрии под термином "многоугольник" чаще всего подразумевают простой выпуклый многоугольник.

Ответ: Многоугольником называют геометрическую фигуру, которая представляет собой часть плоскости, ограниченную замкнутой ломаной линией. В простейшем случае (для простого многоугольника) его стороны не имеют точек пересечения, кроме вершин.

2. Какова сумма внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника?

Для ответа на этот вопрос необходимо найти сумму внутренних углов и сумму внешних углов выпуклого многоугольника, а затем сложить полученные значения. Пусть многоугольник имеет $n$ сторон (и, соответственно, $n$ вершин и $n$ углов), где $n$ — целое число, $n \ge 3$.

Сумма внутренних углов

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника определяется по известной теореме. Её можно вывести, разделив многоугольник на треугольники. Если провести все возможные диагонали из одной вершины, многоугольник разделится на $(n-2)$ треугольника. Поскольку сумма углов в каждом треугольнике равна $180^{\circ}$, то сумма всех внутренних углов многоугольника ($S_{внутр}$) равна:

$S_{внутр} = 180^{\circ} \cdot (n-2)$

Сумма внешних углов

Внешний угол при вершине многоугольника — это угол, смежный соответствующему внутреннему углу. То есть, сумма внутреннего и внешнего угла при одной и той же вершине равна $180^{\circ}$.

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, если брать по одному при каждой вершине, всегда является постоянной величиной и не зависит от числа сторон $n$. Эта сумма равна $360^{\circ}$.

$S_{внеш} = 360^{\circ}$

Общая сумма внутренних и внешних углов

Для нахождения общей суммы ($S_{общая}$) сложим сумму внутренних и сумму внешних углов:

$S_{общая} = S_{внутр} + S_{внеш}$

$S_{общая} = (180^{\circ} \cdot (n-2)) + 360^{\circ}$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$S_{общая} = 180^{\circ} \cdot n - 180^{\circ} \cdot 2 + 360^{\circ}$

$S_{общая} = 180^{\circ} \cdot n - 360^{\circ} + 360^{\circ}$

$S_{общая} = 180^{\circ} \cdot n$

Этот результат можно получить и более простым рассуждением: так как в каждой из $n$ вершин многоугольника сумма внутреннего и смежного с ним внешнего угла равна $180^{\circ}$, то общая сумма всех внутренних и всех внешних углов равна произведению числа вершин на $180^{\circ}$.

Ответ: Сумма внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника с $n$ сторонами равна $180^{\circ} \cdot n$.

3. Какую фигуру называют четырехугольником? Какова сумма его внутренних углов?

Какую фигуру называют четырехугольником?

Четырехугольником в геометрии называют многоугольник, который состоит из четырех точек (называемых вершинами) и четырех отрезков (называемых сторонами), последовательно соединяющих эти точки. При этом должны выполняться следующие условия:

1. Никакие три вершины не должны лежать на одной прямой.
2. Стороны не должны пересекаться, кроме как в вершинах (такие четырехугольники называют простыми или несамопересекающимися).

Четырехугольники бывают выпуклыми (все внутренние углы меньше $180^\circ$ и все диагонали лежат внутри фигуры) и невыпуклыми или вогнутыми (один из внутренних углов больше $180^\circ$ и одна из диагоналей лежит вне фигуры).

Ниже изображен пример выпуклого четырехугольника ABCD с вершинами A, B, C, D и сторонами AB, BC, CD, DA.

Какова сумма его внутренних углов?

Сумма внутренних углов любого (как выпуклого, так и невыпуклого) четырехугольника всегда равна $360^\circ$. Это можно доказать несколькими способами.

Способ 1: По общей формуле для многоугольников

Сумма внутренних углов $S$ любого простого n-угольника находится по формуле: $S = (n-2) \times 180^\circ$, где $n$ – это количество сторон (и углов) многоугольника. Для четырехугольника $n=4$. Подставим это значение в формулу:

$S = (4-2) \times 180^\circ = 2 \times 180^\circ = 360^\circ$

Способ 2: Путем деления на треугольники

Любой четырехугольник можно разделить на два треугольника, проведя диагональ (отрезок, соединяющий две противолежащие вершины). Например, в четырехугольнике ABCD проведем диагональ AC. Она разделит его на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

Сумма внутренних углов любого треугольника, как известно, составляет $180^\circ$. Сумма углов четырехугольника будет равна сумме углов этих двух треугольников:

Сумма углов $ABCD = (\text{сумма углов } \triangle ABC) + (\text{сумма углов } \triangle ADC) = 180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$.

Этот вывод справедлив для всех простых четырехугольников.

Ответ: Четырехугольник — это многоугольник с четырьмя вершинами и четырьмя сторонами. Сумма его внутренних углов всегда составляет $360^\circ$.

4. Что такое параллелограмм?

Определение

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. Это означает, что если в четырёхугольнике ABCD сторона AB параллельна стороне CD, а сторона BC параллельна стороне AD, то такой четырёхугольник является параллелограммом ($AB \parallel CD$, $BC \parallel AD$).

На рисунке показан параллелограмм ABCD со сторонами $a$ и $b$, диагоналями $d_1$ и $d_2$ и углом $\alpha$ между смежными сторонами.

Свойства параллелограмма

Любой параллелограмм обладает следующими свойствами:

1. Противоположные стороны равны. Для параллелограмма ABCD: $AB = CD$ и $BC = AD$.

2. Противоположные углы равны. $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$.

3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Например, $\angle A + \angle B = 180^\circ$ и $\angle B + \angle C = 180^\circ$.

4. Диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. Если O — точка пересечения диагоналей AC и BD, то $AO = OC$ и $BO = OD$.

5. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$.

6. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Две его противоположные стороны равны и параллельны (например, $AB = CD$ и $AB \parallel CD$).

2. Его противоположные стороны попарно равны ($AB = CD$ и $BC = AD$).

3. Его противоположные углы попарно равны ($\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$).

4. Его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Основные формулы

Пусть $a$ и $b$ — смежные стороны параллелограмма, $h_a$ — высота, опущенная на сторону $a$, $\alpha$ — угол между сторонами $a$ и $b$, $d_1, d_2$ — диагонали.

Периметр параллелограмма: $P = 2(a+b)$.

Площадь параллелограмма можно вычислить несколькими способами:

• Через сторону и высоту: $S = a \cdot h_a$.

• Через две стороны и угол между ними: $S = a \cdot b \cdot \sin\alpha$.

• Через диагонали и угол $\gamma$ между ними: $S = \frac{1}{2}d_1d_2\sin\gamma$.

Частные случаи параллелограмма

Некоторые известные геометрические фигуры являются частными случаями параллелограмма, обладающими дополнительными свойствами:

• Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны $90^\circ$).

• Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

• Квадрат — это параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы прямые. Квадрат является одновременно и прямоугольником, и ромбом.

Ответ: Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Его ключевые свойства включают равенство противоположных сторон и углов, а также то, что его диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, ромб и квадрат.

5. Докажите свойства параллелограмма.

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. Докажем основные свойства, вытекающие из этого определения.

Свойство 1. Противоположные стороны параллелограмма равны.

Свойство 2. Противоположные углы параллелограмма равны.

Для доказательства этих двух свойств рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По определению, $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$. Проведем в нем диагональ $AC$.

Диагональ $AC$ делит параллелограмм на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$. Рассмотрим эти треугольники.

1. Сторона $AC$ у них общая.

2. Угол $\angle 1$ равен углу $\angle 2$ ($\angle BCA = \angle CAD$) как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$.

3. Угол $\angle 3$ равен углу $\angle 4$ ($\angle BAC = \angle DCA$) как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$.

Таким образом, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие элементы равны:

• $AB = CD$ и $BC = DA$. Это доказывает свойство 1.

• $\angle B = \angle D$. Также $\angle A = \angle 3 + \angle 2 = \angle 4 + \angle 1 = \angle C$. Это доказывает свойство 2.

Ответ: В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Свойство 3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Проведем диагонали $AC$ и $BD$, которые пересекаются в точке $O$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.

1. Сторона $AB = CD$ по свойству 1 параллелограмма.

2. Угол $\angle BAO$ равен углу $\angle DCO$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$.

3. Угол $\angle ABO$ равен углу $\angle CDO$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BD$.

Следовательно, $\triangle AOB = \triangle COD$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AO = CO$ и $BO = DO$. Это означает, что точка пересечения $O$ делит обе диагонали пополам.

Ответ: Диагонали параллелограмма в точке их пересечения делятся пополам.

Свойство 4. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По определению, $AD \parallel BC$.

Рассмотрим сторону $AB$ как секущую к параллельным прямым $AD$ и $BC$. Углы $\angle DAB$ и $\angle ABC$ (на рисунке $\alpha$ и $\beta$) являются односторонними внутренними углами. По свойству параллельных прямых, их сумма равна $180^\circ$.

$\angle A + \angle B = 180^\circ$

Аналогично доказывается для любой другой пары соседних углов: $\angle B + \angle C = 180^\circ$, $\angle C + \angle D = 180^\circ$, $\angle D + \angle A = 180^\circ$.

Ответ: Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна $180^\circ$.

6. Докажите признаки параллелограмма.

Признаки параллелограмма — это теоремы, которые позволяют по определённым элементам четырехугольника установить, что он является параллелограммом. Докажем три основных признака.

Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Дано: Четырехугольник $ABCD$, в котором $AB = CD$ и $AB \parallel CD$.

Доказать: $ABCD$ — параллелограмм.

Доказательство:

Проведем диагональ $AC$. Она делит четырехугольник $ABCD$ на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

Рассмотрим эти треугольники. Углы $\angle BAC$ и $\angle DCA$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Так как по условию $AB \parallel CD$, то $\angle BAC = \angle DCA$.

Также по условию нам дано, что $AB = CD$. Сторона $AC$ является общей для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

Таким образом, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle BCA = \angle DAC$. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. Поскольку они равны, то прямые $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$).

В четырехугольнике $ABCD$ противолежащие стороны попарно параллельны: $AB \parallel CD$ (по условию) и $BC \parallel AD$ (по доказанному). Следовательно, по определению, четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Признак доказан.

Если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Дано: Четырехугольник $ABCD$, в котором $AB = CD$ и $BC = AD$.

Доказать: $ABCD$ — параллелограмм.

Доказательство:

Проведем диагональ $AC$, которая делит четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

Рассмотрим эти треугольники. По условию $AB = CD$ и $BC = AD$. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Так, $\angle BAC = \angle DCA$. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Так как они равны, то $AB \parallel CD$.

Также из равенства треугольников следует, что $\angle BCA = \angle DAC$. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. Так как они равны, то $BC \parallel AD$.

Поскольку в четырехугольнике $ABCD$ противолежащие стороны попарно параллельны, он является параллелограммом по определению. Что и требовалось доказать.

Ответ: Признак доказан.

Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Дано: Четырехугольник $ABCD$, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, причем $AO = OC$ и $BO = OD$.

Доказать: $ABCD$ — параллелограмм.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.

По условию $AO = OC$ и $BO = OD$. Углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ равны как вертикальные.

Следовательно, $\triangle AOB = \triangle COD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства этих треугольников следует, что $AB = CD$ и $\angle OAB = \angle OCD$.

Углы $\angle OAB$ и $\angle OCD$ являются накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Поскольку они равны, то прямые $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$).

Таким образом, в четырехугольнике $ABCD$ две противолежащие стороны $AB$ и $CD$ равны и параллельны. По первому признаку параллелограмма, четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Признак доказан.

7. Что такое прямоугольник? Назовите его свойства.

Что такое прямоугольник?

Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые, то есть равны $90°$. Прямоугольник является частным случаем параллелограмма.

Ответ: Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все четыре угла прямые.

Назовите его свойства.

Свойства прямоугольника вытекают из того, что он является параллелограммом, а также имеет свои собственные уникальные характеристики. Рассмотрим прямоугольник $ABCD$ с диагоналями $AC$ и $BD$, пересекающимися в точке $O$.

Основные свойства прямоугольника:

1. Противоположные стороны. Противоположные стороны прямоугольника попарно равны и параллельны. Для прямоугольника $ABCD$ на рисунке: $AB = CD$ и $BC = AD$; $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$.

2. Углы. Все углы прямоугольника прямые и равны $90°$. $∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°$.

3. Диагонали. Диагонали прямоугольника равны. $AC = BD$. Это является отличительным свойством прямоугольника от других видов параллелограммов.

4. Точка пересечения диагоналей. Диагонали в точке пересечения делятся пополам. $AO = OC = BO = OD$. Так как диагонали равны, то и их половины равны между собой.

5. Связь сторон и диагонали. Квадрат длины диагонали равен сумме квадратов длин двух его смежных сторон (согласно теореме Пифагора). Если стороны равны $a$ и $b$, а диагональ $d$, то $d^2 = a^2 + b^2$.

6. Описанная окружность. Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность. Центр этой окружности находится в точке пересечения диагоналей, а её радиус равен половине длины диагонали.

Ответ: Основные свойства прямоугольника: противоположные стороны равны и параллельны; все углы прямые ($90°$); диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам.