Номер 6, страница 162 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6. Докажите признаки параллелограмма.

Признаки параллелограмма — это теоремы, которые позволяют по определённым элементам четырехугольника установить, что он является параллелограммом. Докажем три основных признака.

Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Дано: Четырехугольник $ABCD$, в котором $AB = CD$ и $AB \parallel CD$.

Доказать: $ABCD$ — параллелограмм.

Доказательство:

Проведем диагональ $AC$. Она делит четырехугольник $ABCD$ на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

Рассмотрим эти треугольники. Углы $\angle BAC$ и $\angle DCA$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Так как по условию $AB \parallel CD$, то $\angle BAC = \angle DCA$.

Также по условию нам дано, что $AB = CD$. Сторона $AC$ является общей для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

Таким образом, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle BCA = \angle DAC$. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. Поскольку они равны, то прямые $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$).

В четырехугольнике $ABCD$ противолежащие стороны попарно параллельны: $AB \parallel CD$ (по условию) и $BC \parallel AD$ (по доказанному). Следовательно, по определению, четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Признак доказан.

Если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Дано: Четырехугольник $ABCD$, в котором $AB = CD$ и $BC = AD$.

Доказать: $ABCD$ — параллелограмм.

Доказательство:

Проведем диагональ $AC$, которая делит четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

Рассмотрим эти треугольники. По условию $AB = CD$ и $BC = AD$. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Так, $\angle BAC = \angle DCA$. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Так как они равны, то $AB \parallel CD$.

Также из равенства треугольников следует, что $\angle BCA = \angle DAC$. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. Так как они равны, то $BC \parallel AD$.

Поскольку в четырехугольнике $ABCD$ противолежащие стороны попарно параллельны, он является параллелограммом по определению. Что и требовалось доказать.

Ответ: Признак доказан.

Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Дано: Четырехугольник $ABCD$, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, причем $AO = OC$ и $BO = OD$.

Доказать: $ABCD$ — параллелограмм.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.

По условию $AO = OC$ и $BO = OD$. Углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ равны как вертикальные.

Следовательно, $\triangle AOB = \triangle COD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства этих треугольников следует, что $AB = CD$ и $\angle OAB = \angle OCD$.

Углы $\angle OAB$ и $\angle OCD$ являются накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Поскольку они равны, то прямые $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$).

Таким образом, в четырехугольнике $ABCD$ две противолежащие стороны $AB$ и $CD$ равны и параллельны. По первому признаку параллелограмма, четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Признак доказан.