Номер 8, страница 163 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8. Что такое ромб, квадрат? Каковы их свойства?

Ромб

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

Поскольку ромб является параллелограммом, он обладает всеми свойствами параллелограмма:

1. Противоположные стороны параллельны ($AB || CD$, $BC || AD$).

2. Противоположные углы равны ($\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$).

3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$ ($\angle A + \angle B = 180^\circ$).

4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Кроме того, ромб обладает собственными, уникальными свойствами:

5. Все стороны ромба равны ($AB = BC = CD = DA$).

6. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$).

7. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (делят углы пополам).

Формулы для ромба:

Площадь: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ – длины диагоналей.

Площадь: $S = a^2 \cdot \sin \alpha$, где $a$ – сторона, $\alpha$ – угол между сторонами.

Периметр: $P = 4a$.

Ответ: Ромб — это параллелограмм с равными сторонами. Его ключевые свойства: все стороны равны, диагонали перпендикулярны, делят углы пополам и в точке пересечения делятся пополам.

Квадрат

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Также квадрат можно определить как ромб, у которого все углы прямые. Квадрат является частным случаем и прямоугольника, и ромба, поэтому обладает всеми их свойствами.

Свойства квадрата:

1. Все стороны квадрата равны.

2. Все углы квадрата прямые (равны $90^\circ$).

3. Противоположные стороны параллельны.

4. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами углов (делят их на углы по $45^\circ$).

Формулы для квадрата:

Периметр: $P = 4a$, где $a$ – сторона квадрата.

Площадь: $S = a^2$.

Площадь: $S = \frac{1}{2} d^2$, где $d$ – диагональ квадрата.

Длина диагонали: $d = a\sqrt{2}$.

Ответ: Квадрат — это четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые ($90^\circ$). Он сочетает в себе свойства прямоугольника и ромба: его диагонали равны, перпендикулярны, делятся пополам в точке пересечения и являются биссектрисами углов.