Номер 15, страница 163 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

15. Какие свойства вписанных и описанных четырехугольников вы знаете?

Свойства вписанных четырехугольников

Четырехугольник называется вписанным в окружность (или циклическим), если все его вершины лежат на одной окружности. Эта окружность называется описанной около четырехугольника.

Основное свойство (критерий вписанности):
Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$.
Для вписанного четырехугольника $ABCD$ справедливы равенства:
$\angle A + \angle C = 180^\circ$
$\angle B + \angle D = 180^\circ$

Другие важные свойства:
1. Теорема Птолемея: Произведение длин диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений длин его противолежащих сторон. Если $a, b, c, d$ – стороны, а $d_1, d_2$ – диагонали, то $d_1 \cdot d_2 = a \cdot c + b \cdot d$.
2. Формула Брахмагупты для площади: Площадь $S$ вписанного четырехугольника со сторонами $a, b, c, d$ и полупериметром $p = \frac{a+b+c+d}{2}$ вычисляется по формуле:
$S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$.

Ответ: Основное свойство вписанного четырехугольника заключается в том, что сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Также для него справедливы теорема Птолемея, связывающая стороны и диагонали, и формула Брахмагупты для вычисления площади.

Свойства описанных четырехугольников

Четырехугольник называется описанным около окружности (или тангенциальным), если все его стороны касаются одной окружности. Эта окружность называется вписанной в четырехугольник.

Основное свойство (критерий описанности, теорема Пи́то):
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны.
Для описанного четырехугольника со сторонами $a, b, c, d$, взятыми последовательно, справедливо равенство:
$a + c = b + d$

Другие важные свойства:
1. Центр вписанной окружности: Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырехугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.
2. Формула для площади: Площадь $S$ описанного четырехугольника равна произведению его полупериметра $p = \frac{a+b+c+d}{2}$ на радиус $r$ вписанной окружности:
$S = p \cdot r$.

Ответ: Основное свойство описанного четырехугольника (теорема Пито) заключается в том, что суммы длин его противолежащих сторон равны ($a+c=b+d$). Его площадь можно найти как произведение полупериметра на радиус вписанной окружности ($S=p \cdot r$), а центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис его углов.