Номер 17, страница 163 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

17. Докажите теорему Пифагора.

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Существует множество способов ее доказательства. Приведем одно из наиболее наглядных, основанное на вычислении площадей.

Формулировка теоремы

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Если катеты прямоугольного треугольника имеют длины $a$ и $b$, а гипотенуза имеет длину $c$, то теорему можно записать в виде формулы:

$a^2 + b^2 = c^2$

Доказательство

Для доказательства рассмотрим следующую геометрическую конструкцию.

1. Построение. Возьмем четыре одинаковых прямоугольных треугольника с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. Расположим их так, чтобы они образовали большой квадрат. Внешняя сторона этого большого квадрата будет равна сумме катетов $a + b$. Внутри большого квадрата образуется малый четырехугольник.

2. Анализ фигур.

• Внешний квадрат: Его сторона равна $a+b$, следовательно, его площадь $S_{общ}$ равна $(a+b)^2$. Раскрыв скобки, получаем: $S_{общ} = a^2 + 2ab + b^2$.
• Внутренний четырехугольник: Его стороны являются гипотенузами исходных треугольников, поэтому все они равны $c$. Это ромб. Чтобы доказать, что это квадрат, нужно показать, что его углы прямые. Каждый угол этого четырехугольника (например, у верхней вершины) дополняет два острых угла прямоугольного треугольника (обозначим их $\alpha$ и $\beta$) до развернутого угла (180°). Поскольку в прямоугольном треугольнике сумма острых углов $\alpha + \beta = 90°$, то угол внутреннего четырехугольника равен $180° - (\alpha + \beta) = 180° - 90° = 90°$. Таким образом, внутренний четырехугольник является квадратом со стороной $c$. Его площадь $S_{вн}$ равна $c^2$.
• Четыре треугольника: Каждый из них является прямоугольным треугольником с катетами $a$ и $b$. Площадь одного такого треугольника $S_{\triangle}$ равна $\frac{1}{2}ab$. Суммарная площадь четырех треугольников равна $4 \times (\frac{1}{2}ab) = 2ab$.

3. Вычисление площади. Площадь большого квадрата можно представить как сумму площадей четырех треугольников и площади внутреннего квадрата:

$S_{общ} = 4 \cdot S_{\triangle} + S_{вн}$

$S_{общ} = 2ab + c^2$

4. Завершение доказательства. Мы получили два разных выражения для площади одного и того же большого квадрата. Приравняем их:

$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$

Вычтем $2ab$ из обеих частей равенства:

$a^2 + b^2 = c^2$

Равенство доказано. Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике с катетами $a, b$ и гипотенузой $c$ выполняется равенство $a^2 + b^2 = c^2$, доказана.