Номер 12, страница 163 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

12. Докажите теорему о средней линии трапеции.

Теорема о средней линии трапеции: Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.

Дано:
ABCD — трапеция.
AD и BC — основания, причём AD || BC.
AB и CD — боковые стороны.
MN — средняя линия, где M — середина стороны AB, а N — середина стороны CD.

Доказать:
1. MN || AD и MN || BC.
2. $MN = \frac{AD + BC}{2}$.

Доказательство:

Выполним дополнительное построение. Проведём прямую через вершины B и N до пересечения с продолжением основания AD. Точку их пересечения обозначим P.

1. Рассмотрим треугольники $ΔBCN$ и $ΔPDN$.
- $CN = ND$ по условию, так как N — середина стороны CD.
- $∠BNC = ∠PND$ как вертикальные углы.
- $BC \parallel AP$ (так как $BC \parallel AD$ по определению трапеции), поэтому $∠BCN = ∠PDN$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AP и секущей CD.
Следовательно, $ΔBCN = ΔPDN$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

2. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $BC = PD$ и $BN = NP$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $ΔABP$.
- M — середина стороны AB (по условию).
- N — середина стороны BP (так как $BN = NP$ по доказанному).
Таким образом, отрезок MN является средней линией треугольника $ΔABP$.

4. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Значит:
- MN || AP. Так как прямая AP содержит основание AD, то MN || AD. Поскольку AD || BC, то и MN || BC. Первая часть теоремы доказана.
- $MN = \frac{1}{2} AP$.

5. Длина отрезка AP равна сумме длин отрезков AD и DP: $AP = AD + DP$.

6. Заменим в этом равенстве отрезок DP на равный ему отрезок BC (из п. 2): $AP = AD + BC$.

7. Подставим полученное выражение для AP в формулу для длины MN: $MN = \frac{1}{2}(AD + BC) = \frac{AD + BC}{2}$. Вторая часть теоремы доказана.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Средняя линия трапеции параллельна её основаниям, а её длина вычисляется по формуле $MN = \frac{AD + BC}{2}$.