Номер 13, страница 163 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

13. Что такое замечательные точки треугольника?

Замечательные точки треугольника – это точки, положение которых однозначно определяется самим треугольником и которые обладают рядом уникальных и важных геометрических свойств. К классическим замечательным точкам относятся четыре: точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров и точка пересечения высот.

Точка пересечения медиан (центроид)

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В любом треугольнике все три медианы пересекаются в одной точке. Эта точка называется центроидом или центром масс треугольника.
Свойство центроида: он делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Центроид всегда находится внутри треугольника.

Ответ: Точка пересечения медиан треугольника называется центроидом. Она является центром масс треугольника и делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины.

Точка пересечения биссектрис (инцентр)

Биссектриса угла треугольника – это отрезок, делящий угол на два равных угла. Три биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке, которая называется инцентром.
Свойство инцентра: он является центром окружности, вписанной в треугольник (инцентр равноудален от всех сторон треугольника). Инцентр всегда находится внутри треугольника.

Ответ: Точка пересечения биссектрис углов треугольника называется инцентром. Она является центром вписанной в треугольник окружности.

Точка пересечения серединных перпендикуляров (центр описанной окружности)

Серединный перпендикуляр к стороне треугольника – это прямая, проходящая через середину стороны и перпендикулярная ей. Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка является центром окружности, описанной около треугольника.
Свойство этой точки: она равноудалена от всех трех вершин треугольника. Её положение зависит от типа треугольника:
- В остроугольном треугольнике – внутри треугольника.
- В прямоугольном треугольнике – на середине гипотенузы.
- В тупоугольном треугольнике – вне треугольника.

Ответ: Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника является центром описанной около него окружности.

Точка пересечения высот (ортоцентр)

Высота треугольника – это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или на её продолжение). Три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром.
Положение ортоцентра также зависит от типа треугольника:
- В остроугольном треугольнике – внутри треугольника.
- В прямоугольном треугольнике – в вершине прямого угла.
- В тупоугольном треугольнике – вне треугольника.

Ответ: Точка пересечения высот (или их продолжений) треугольника называется ортоцентром.

Существуют и другие замечательные точки (например, точки Торричелли, точка Жергонна, точка Нагеля), но перечисленные четыре являются наиболее известными. Примечательно, что в любом треугольнике (кроме равностороннего) ортоцентр, центроид и центр описанной окружности лежат на одной прямой, которая называется прямой Эйлера.