Номер 14, страница 163 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

14. Докажите, что можно описать около треугольника окружность и вписать в треугольник окружность.

Доказательство существования описанной окружности

Чтобы доказать, что около любого треугольника можно описать окружность, нужно доказать существование точки, равноудаленной от всех трех его вершин. Эта точка будет центром описанной окружности.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$.

1. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек (например, $A$ и $B$), есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки (отрезок $AB$). Обозначим этот серединный перпендикуляр как $m$. Любая точка на $m$ равноудалена от $A$ и $B$.

2. Аналогично, построим серединный перпендикуляр $n$ к стороне $BC$. Любая точка на $n$ равноудалена от $B$ и $C$.

3. Прямые $m$ и $n$ пересекаются. Это следует из того, что они перпендикулярны сторонам $AB$ и $BC$ соответственно. Если бы прямые $m$ и $n$ были параллельны, то и прямые $AB$ и $BC$ были бы параллельны или совпадали. Но это невозможно, так как $A, B, C$ — вершины треугольника и не лежат на одной прямой. Следовательно, серединные перпендикуляры $m$ и $n$ пересекаются в некоторой точке $O$.

4. Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре $m$ к стороне $AB$, то она равноудалена от вершин $A$ и $B$, то есть $OA = OB$.

5. Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре $n$ к стороне $BC$, то она равноудалена от вершин $B$ и $C$, то есть $OB = OC$.

6. Из равенств $OA = OB$ и $OB = OC$ следует, что $OA = OC$. Это означает, что точка $O$ также равноудалена от вершин $A$ и $C$. Следовательно, точка $O$ лежит и на серединном перпендикуляре к стороне $AC$.

7. Таким образом, все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке $O$. Эта точка $O$ равноудалена от всех трех вершин треугольника: $OA = OB = OC$. Обозначим это расстояние как $R$.

8. Окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$ пройдет через все три вершины треугольника $A$, $B$ и $C$. Эта окружность и является описанной около треугольника $ABC$. Так как точка пересечения двух непараллельных прямых единственна, то и центр описанной окружности единственен.

Ответ: Таким образом, доказано, что точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника является центром окружности, проходящей через все три его вершины, следовательно, около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство существования вписанной окружности

Чтобы доказать, что в любой треугольник можно вписать окружность, нужно доказать существование точки, равноудаленной от всех трех его сторон. Эта точка будет центром вписанной окружности.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$.

1. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых (например, сторон $AB$ и $AC$), есть биссектриса угла, образованного этими прямыми. Рассмотрим биссектрису угла $A$. Любая точка на этой биссектрисе равноудалена от сторон $AB$ и $AC$.

2. Аналогично, построим биссектрису угла $B$. Любая точка на этой биссектрисе равноудалена от сторон $BA$ и $BC$.

3. Биссектрисы двух углов треугольника (например, $\angle A$ и $\angle B$) всегда пересекаются внутри треугольника, так как сумма половин этих углов $(\angle A + \angle B) / 2$ всегда меньше $180^\circ / 2 = 90^\circ$. Обозначим точку их пересечения как $I$.

4. Так как точка $I$ лежит на биссектрисе угла $A$, то она равноудалена от сторон $AB$ и $AC$. Если $IR$ и $IQ$ — перпендикуляры, опущенные из точки $I$ на стороны $AB$ и $AC$ соответственно, то $IR = IQ$.

5. Так как точка $I$ лежит на биссектрисе угла $B$, то она равноудалена от сторон $BA$ и $BC$. Если $IP$ — перпендикуляр, опущенный из точки $I$ на сторону $BC$, то $IR = IP$.

6. Из равенств $IR = IQ$ и $IR = IP$ следует, что $IQ = IP$. Это означает, что точка $I$ равноудалена от сторон $AC$ и $BC$, а значит, она лежит на биссектрисе угла $C$.

7. Таким образом, все три биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке $I$. Эта точка $I$ равноудалена от всех трех сторон треугольника: $IP = IQ = IR$. Обозначим это расстояние как $r$.

8. Окружность с центром в точке $I$ и радиусом $r$ будет касаться всех трех сторон треугольника в точках $P, Q, R$ (так как радиусы, проведенные в эти точки, перпендикулярны сторонам). Эта окружность и является вписанной в треугольник $ABC$. Ее центр $I$ и радиус $r$ определяются однозначно.

Ответ: Таким образом, доказано, что точка пересечения биссектрис углов треугольника является центром окружности, касающейся всех трех его сторон, следовательно, в любой треугольник можно вписать окружность.